關鍵路徑（拓撲排序）

一.先給出幾個概念：

aoe-網：在帶權有向圖中頂點表示事物，有向邊表示活動，權表示活動持續的時間，則此有向圖稱為邊表示活動的網路。（activity on edge network)

（表示實際工程的aoe-網應該是無環的，且存在唯一入度為0的起始頂點（始點），以及唯一出度為0的完成頂點（終點）。）

利用aoe-網進行工程安排的估算，可以實現：

1.研究完成工程至少需要多少時間。

2.為縮短時間，應加快哪些活動的速度等問題。

用e(i)表示活動ai的最早開始時間，l(i)表示ai的最遲開始時間，e(i)=l(i)的活動稱為關鍵活動，由這些關鍵活動連線起來的路徑稱為關鍵路徑。

二.原理：

問題在於如何求e(i),l(i)。

若ve(i)：事件i的最早發生時間;vl(i):事件最遲發生時間。(注意區分，活動表示邊，時間表示頂點，e(i),l(i)是對邊而言，ve(i),vl(i)是對頂點而言。

故可將對e(i),l(i)的計算轉化成對ve,vl的計算，而對ve，vl的計算可以通過拓撲排序的過程來實現。

e(i)=ve(j)          

l(i)=vl(k)-dut()

1.這裡對圖的儲存使用鄰接表，因為臨界矩陣很難實現，他無法體現邊的性質。

但需要對鄰接表做些改動：在表頭結點中加一項index，用於存放入度，並同時作為拓撲棧和逆拓撲棧。當然也可以不這樣做，但會耗費一定的空間。**如下：

#include#include#define len sizeof(tablenode)

using namespace std;
typedef struct node1tablenode;
typedef struct node2header;

我這裡圖的頂點即採用0..n-1(n為頂點個數)，但輸入邊的時候是輸的1..n，所以建立鄰接表需要減一。另外，在建立的同時需要計算出每個頂點的入度，為了後面拓撲排序時方便。**如下：

void buildadjlist(header (&a)[101],int n,int e)

}

這裡大概有3步：根據拓撲排序計算ve，根據拓撲排序的序列反向進行逆拓撲排序計算vl，輸出關鍵路徑。

具體的實現看如下的**：

void cpm(header (&a)[101],int n)

if(ve[x]dut)
ve[x]=ve[p]+k->dut; //若通過始點p能增大終點x的ve則增大
k=k->next; 
} }if(madjvex;
if(vl[p]>vl[x]-k->dut)
vl[p]=vl[x]-k->dut; //若通過終點k能減小始點p的vl則減小
k=k->next;
} }printf("critical pathes are as follows:\n");
for(int i=0;iadjvex;
if(ve[i]==vl[x]-k->dut)
printf("<%d,%d>\n",i+1,x+1);
k=k->next;
} }}

int main()

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