[問題2014s01]解答因為 \(f(x_1,\cdots,x_n)\) 為 \(2\) 次 \(n\) 元對稱多項式, 故 \[f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_^nx_i^2+2c\sum_ 2ax_1+2cx_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ 2cx_1+2ax_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 2cx_1+2cx_2+\cdots+2ax_n=-d. \end \]
上述線性方程組係數矩陣 \(a\) 的行列式值為: \[ |a|=\begin 2a & 2c & \cdots & 2c \\ 2c & 2a & \cdots & 2c \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2c & 2c & \cdots & 2a \end=2^n\big(a+(n-1)c\big)(a-c)^. \]
(1) 若 \(a=c\), 則 \[f=a\big(\sum_^nx_i\big)^2+d\big(\sum_^nx_i\big)+e,\] 此時能取到最值的點有無窮多個, 這與 \(s\) 是有限集合矛盾.
(2) 若 \(a+(n-1)c=0\), 即 \(a=-(n-1)c\), 則 \[f=-c\sum_1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end=2\big(a+(n-1)c\big)\begin1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end,\,\,a^\begin1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end=\frac\begin1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end.\]
於是 \(s\) 中只有乙個點, 其座標滿足: \[\beginx_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end=a^\begin-d\\ -d\\ \vdots \\ -d \end=\frac\begin1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end.\quad\box\]
通過上述問題的解答, 事實上我們還可以得到進一步的結論.
加強結論設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次數等於 2 的 \(n\) 元實係數多項式, \(s\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 達到最大值或最小值的點的集合. 假設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是關於未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的對稱多項式並且 \(s\) 為非空集合, 則存在 \(b\in\mathbb\) 使得 \((b,b,\cdots,b)\in s.\)
我們還可以提出下面更一般的問題 (我不知道答案, 請有興趣的同學自己探索):
問題設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次數等於 \(2m\) 的 \(n\) 元實係數多項式, \(s\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 達到最大值或最小值的點的集合. 假設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是關於未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的對稱多項式並且 \(s\) 為非空集合, 問: 是否存在 \(b\in\mathbb\) 使得 \((b,b,\cdots,b)\in s？\)
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