座標與矩陣變換時矩陣論的基礎，也是機械人，機器視覺技術的基礎。這本加州理工的教材沿用了機械人技術中的表達方式。這裡記錄一下
ps:mit ocw課程《線性代數》真的非常非常有用，原本一知半解的問題現在都明白了。
空間中的乙個向量就是空間中的乙個向量。
就像來自遙遠宇宙的一束光，不知道它從**來，也不知道它到**去，從我們頭上掠過，波瀾不驚。好了，這句看起來很裝逼的話其實可以用向量空間的語言來解釋。
不知道它在它老家的座標系中是如何表達的，但是那個座標系肯定存在，而且它的目的地在那個座標系中有個座標，從起點到終點的連線就是這道光。或者說這個向量
也不知道它到**去。它的終點也一定有個座標系記錄了這道光到達的位置，和它飛來的方向。也是乙個向量。
作為乙個地球人，我們看見這道光從頭上飛了過去，我們看見了它的指向，從乙個點，指向另乙個點。光還是這道光。
這表示，空間中的乙個向量有很多表達方式，但是向量還是這個向量，本質沒變。用向量空間符號表示為：[a
iaja
k]⎡⎣
⎢⎢ax
ayaz
⎤⎦⎥⎥
=[bi
bjbk
]⎡⎣⎢
bxby
bz⎤⎦
⎥ 從向量表示，可以看出a
p 和 b
p 存在一定關係，這種關係可以表示為： [a
iaja
k]⎡⎣
⎢⎢ax
ayaz
⎤⎦⎥⎥
=[bi
bjbk
]⎡⎣⎢
bxby
bz⎤⎦
⎥ ⎡⎣⎢b
ibjb
k⎤⎦⎥
[aia
jak]
⎡⎣⎢⎢
axay
az⎤⎦
⎥⎥=⎡
⎣⎢bi
bjbk
⎤⎦⎥[
bibj
bk]⎡
⎣⎢bx
bybz
⎤⎦⎥
⎡⎣⎢b
ibjb
k⎤⎦⎥
[aia
jak]
⎡⎣⎢⎢
axay
az⎤⎦
⎥⎥=⎡
⎣⎢10
0010
001⎤
⎦⎥⎡⎣
⎢bxb
ybz⎤
⎦⎥⎡⎣⎢
⎢bia
ibja
ibka
ibia
jbja
jbka
jbia
kbja
kbka
k⎤⎦⎥
⎥⎡⎣⎢
⎢axa
yaz⎤
⎦⎥⎥=
⎡⎣⎢b
xbyb
z⎤⎦⎥
記作 bar
ap=b
p r表示座標系之間的旋轉矩陣，p表示座標。左上標均表示座標系。給出座標系a，b之間旋轉關係，就可以由公式求出r。從而得到a、b中點的座標變換關係。
旋轉矩陣式單位陣，這很好理解，旋轉變換時剛體變換，其雅可比行列式必然為1。
旋轉矩陣的逆矩陣r−1
是它的逆矩陣r
t 這也很好理解，從計算方法裡可以看出。
上述表達只適用於座標系分別繞各個軸旋轉後的結果，不適用於原點不重合的情況，如果座標原點不重合，則 bp
=bar
ap+b
oa其中boa
表示的是點o
a在b座標系中的座標。
這個操作相當於將a座標系中的點先旋轉然後再平移，平移的方向是a座標系的原點在ｂ座標系中的座標。也就是ｂ座標系原點指向ａ座標系原點的向量。ａ座標系中的點加上向量ｂ－ａ就變成了ｂ座標系中的點。
如果寫成齊次座標的形式有。 (b
p1)=
bat(
ap1)
bat=[ba
r0tb
oa1]
座標中點的變換是指，如果座標中有兩個點，那麼這兩個點之間應該存在某種變換關係。比如在f座標系中有兩點p
和 p′，首先將問題退化成旋轉變化，這樣比較簡單。並且具有推廣性。
那麼可以寫作 p′
=rp
op=[
aiaj
ak]⎡
⎣⎢px
pypz
⎤⎦⎥
op′=
[bib
jbk]
⎡⎣⎢p
xpyp
z⎤⎦⎥
上式描述的是，如果在a座標系中存在另外乙個座標系b，是的p』的座標值和p在a中的座標值相等。op
′=[b
ibjb
k]⎡⎣
⎢pxp
ypz⎤
⎦⎥=[
aiaj
ak]⎡
⎣⎢px
′py′
pz′⎤
⎦⎥⎡⎣⎢
⎢aia
jak⎤
⎦⎥⎥[
bibj
bk]⎡
⎣⎢px
pypz
⎤⎦⎥=
⎡⎣⎢1
0001
0001
⎤⎦⎥⎡
⎣⎢px
′py′
pz′⎤
⎦⎥rp=
p′ r
=abr
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