在AD轉換中的過取樣和雜訊形成

1. 直接量化的過取樣ad轉換

此類系統的模型可以用下圖表示。

圖中xa(t)是輸入訊號，e(t)是量化引入的雜訊，xd[n]是最終得到的數碼訊號，包含分量xda和xde。

對於m倍過取樣，訊號與量化雜訊的功率譜如下圖。

從上圖可以看出，m越大，訊號與雜訊之間的重疊部分就越少。

現在將上面的訊號通過乙個截止頻率為pi/m的理想數字濾波器，訊號功率不受影響，而pi/m之外的量化雜訊將被濾除。再經過m倍降取樣後，訊號與量化雜訊的功率譜就變成下面的樣子（量化雜訊只有濾波降取樣前的1/m）：

計算表明（參考《離散時間訊號處理》，奧本海默），為達到給定的訊號量化雜訊比，過取樣率m每增加1倍，就可減少1/2位；或者說，為達到期望精度所能減少的位數n與過取樣比m的關係為m=4n。

2. 用雜訊成形的過取樣ad轉換

前文述方法可以使用過取樣的方法改善訊雜比，但過取樣比隨著所需改善的位數提高而急劇增加。例如16b->20b，所需過取樣比就是256。雜訊成形的思路是將低頻段的量化雜訊「搬移」到高頻部分去。如下圖所示。

量化後的結果反饋回了輸入端。

於是這種方法的等效模型如下圖：

從x[n]到y[n]的傳遞函式hx(z)和從e[n]到y[n]的傳遞函式he[z]可以按系統疊加性質計算出來（分別置e[n]和x[n]為0）：

hx(z)=1

he(z)=1-z-1

它們的單位脈衝響應分別是

yx[n]=x[n]

e'[n]=e[n]-e[n-1]

這樣，y[n]=x[n]+e'[n]

e'[n]可看做將e[n]通過乙個單位衝擊響應為δ[n]-δ[n-1]的系統而得到。對於lti系統，輸出功率譜是輸入功率譜乘以系統頻響函式的模平方，因此（設e[n]的功率譜為σe

2）：φe'e'(ejω)=σe

2|he(ejω)|2=σe

2[2sin(ω/2)]2

與此對應的功率譜如下圖。相比於直接過取樣，雜訊功率更多的位於pi/m之外。

有些文章將該系統對量化雜訊的處理稱作「濾波」，因為滑動差分的頻率響應確實是高通。不過從滑動差分的頻率響應來看，稱之為「雜訊形成」更合適一點。

以上所述即delta-sigma adc的基本原理。這種方法可以進行級聯，以進一步將量化雜訊「推」到pi/m之外。

進一步的量化分析參考教科書。