多叉樹的樹形揹包常見建模方法

多叉樹的樹形揹包常見建模方法 - csdn部落格

一.多叉樹變二叉樹。

這個技巧其實也有兩種具體的方法：樹的孩子兄弟表示法與dfs序法。

1.樹的孩子兄弟表示法。

總結成口訣就是：第乙個兒子是左子樹，其他兒子是左子樹的右子樹（似乎並不押韻，手動滑稽）

2.dfs序法

dfs序就是對乙個樹進行乙個dfs，然後對於每個點記錄乙個時間戳dfn陣列，這個時間戳就是這個節點的dfs序，然後我們再記錄乙個size陣列，表示以每個節點為根的子樹中節點的數量。

假設根節點是u，那麼可以容易的推出

第乙個兒子的dfs序dfn[first_son]就是dfn[u]+1

第二個兒子的dfs序dfn[second_son]就是dfn[u]+size[first_son]+1

其餘同理。

那麼u的下乙個兄弟的dfs序dfn[next_brother]就是dfn[u]+size[u]+1

這兩個方法大多用於樹形依賴形揹包（即使用乙個節點必須要使用它所有的祖先），

主要解決點權問題。

主要作用就是可以使決策轉移的過程變成o(1)的了。

最常見的模型就是：有n個物品，有乙個m大小的包，每個物品有wi物重與vi物品價值，物品之間存在只有裝了物品a，才能裝物品b的n-1條關係（就是乙個樹）。問能取得的最大價值。

簡要分析：顯然是乙個多叉樹，考慮轉換。

1.孩子兄弟表示法：對於乙個節點i，設dp[i][j]表示在以i為根的子樹中，用大小為j的包能取得的最大價值，那麼dp[i][j]=max(dp[left[i]][j-w[i]]+v[i],dp[right[i]][j])

注意，這裡的left[i]是i在原樹中的第乙個兒子，right[i]是i在原樹中的下乙個兄弟。

這個方程是非常好理解的。效率就是o(nm)的。

2.dfs序法：對於乙個dfs序為i的節點u，同樣設dp[i][j]表示在以u為根的子樹中，用大小為j的包能取得的最大價值，那麼dp[i][j]+v[i]->dp[i+1][j-w[i]]

dp[i][j]->dp[i+size[i]+1][j]

注意，這裡的轉移並不是常見的dp[i][j]=max()....（用dp[i][j]的前驅狀態去計算dp[i][j]），而是用dp[i][j]去更新它的後繼狀態。這種方法被稱為刷表法。

兩種方法都是非常巧妙的。但作用也是有限的，只能解決依賴性揹包中的點權問題。

二.分組的樹形揹包。

這類問題也是有乙個常見模型的，具體可參考洛谷p1272重建道路。

下面針對這道題來分析，能夠解決多叉樹的，分組的樹形揹包。

此時，我們的兒子與父親之間並不存在依賴型關係，那麼我們設dp[k][i][j]表示以i為根的子樹，在前k個兒子中，分離出乙個大小為j的子樹（必須包含i），所需要最少的操作次數。

那麼我們每計算到第k+1個新的兒子v時(full_son[v]表示v的兒子個數)，

dp[k+1][i][j]=min(dp[k][i][j-t]+dp[full_son[v]][v][t]);

由於乙個樹形關係，我們需要在乙個dfs上進行dp，即先dfs(v),然後更新dp[k+1][i][j]。

這個k的一維顯然可以用滾動陣列優化掉。

那麼就是

j=m->1

t=1->j

dp[i][j]=min(dp[i][j-t]+dp[v][t]);

同時，dp一律要注意初始化，即剛開始時所有的dp[i][1]=du[i]（du[i]表示與i連邊的節點數，又稱i的入度（樹是無向邊喲！））

1 #include2 #include3 #include4

using
namespace
std;
5const
int inf=0x3f3f3f3f;6
const
int n=201;7
struct
edgee[n*2
];10
intdu[n],a[n],dp[n][n];
11int n,k,res=inf,edgecnt=0;12
void addedge(int u,int
v)17
void dfs(int u,int
fa)27
}28 res=min(res,dp[u][k]);29}
30int
main()
40 dfs(1,0
);41 printf("%d"
,res);
42return0;
43 }

最後總結一句：樹形揹包都與dfs離不開關係，所以我們可以在dfs上dp可以寫的更簡單，也可以在dfs預處理後再總刷表法dp。

這三種方法都各有長處，各有短處，實際運用時還是要注意題目本身的。

cogs 1199選課（樹形dp 揹包或多叉轉二叉

題意 給m門課，每門課在上完其先修課後才能上，要你從中選n門課使得總學分盡可能大。思路 揹包，沒有先修課看成其先修課編號為0，求乙個f 0 n 的揹包，表示以0為根的樹選n個結點的最大總權值，設x為根，y為x的孩子，對每個孩子，dfs y 然後f x t max f x t f x t j f y ...

樹形dp技巧，多叉樹轉二叉樹

今天覆習樹形dp時發現一道比較古老的題，叫選課，是樹形dp的一道基礎題，也是多叉樹轉二叉樹應用的模版題 多叉樹轉二叉樹的應用非常廣泛，因為如果乙個節點的兒子太多，乙個乙個存下來不方便去查詢，並且會增加複雜度，但是這裡我們就有乙個o n 的複雜度的方法把多叉樹轉換為二叉樹，轉換成二叉樹後就更方便查詢，...

有依賴的揹包問題（樹形dp 揹包問題）

acwing 10.有 n 個物品和乙個容量是 v 的揹包。物品之間具有依賴關係，且依賴關係組成一棵樹的形狀。如果選擇乙個物品，則必須選擇它的父點。如下圖所示 如果選擇物品5，則必須選擇物品1和2。這是因為2是5的父節點，1是2的父節點。每件物品的編號是 i，體積是 vi，價值是 wi，依賴的父節點...