具體數學第二版第三章習題(1)

2021-09-07 23:15:05 字數 2222 閱讀 6892

1 $m=lg(n),l=n-m=n-lg(n)$

2 (1)$x=n.5$時向上取整:$\left \lfloor x+0.5 \right \rfloor$

(2)$x=n.5$時向下取整:$\left \lceil x-0.5 \right \rceil$

3 $\left \lfloor \frac \right \rfloor$

$=\left \lfloor \frac)n} \right \rfloor$

$=\left \lfloor mn-\fracn} \right \rfloor=mn-1$

其中$0<\left \<1$

4 給定的真命題或者假命題。比如$2+3=5$,或者$3\neq 4$

5 將$x=\left \lfloor x \right \rfloor+\left \$代入:

右側=$\left \lfloor n\left \lfloor x \right \rfloor+n\left \ \right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor n\left \ \right \rfloor$

左側=$n\left \lfloor \left \lfloor x \right \rfloor +\left \\right \rfloor=n\left \lfloor x \right \rfloor$

所以$\left \lfloor n\left \ \right \rfloor=0$,所以$\left \<\frac$

6 $\left \lfloor f(x) \right \rfloor=\left \lfloor f(\left \lceil x \right \rceil) \right \rfloor$

$\left \lceil f(x) \right \rceil=\left \lceil f(\left \lfloor x \right \rfloor) \right \rceil$

7 $n$%$m+\left \lfloor \frac \right \rfloor$

8 (1)假設都小於$\left \lceil \frac \right \rceil$,那麼有$n\leq (\left \lceil \frac \right \rceil-1)m$,即$\frac+1\leq \left \lceil \frac \right \rceil$,這個式子恆不成立。

(2)假設都大於$\left \lfloor \frac \right \rfloor$,那麼有$n\geq (\left \lfloor \frac \right \rfloor+1)m$,即$\frac-1\geq \left \lfloor \frac \right \rfloor$,這個式子恆不成立。

9 如果$n$%$m$=0,則顯然成立。

否則,令$n=m(q-1)+t,010 令$0\leq p<1$。分兩種情況考慮:

(1)$x=2k+1+p$,此時可以得到:如果$p<0.5$,那麼答案為$2k+1$,否則為$2k+2$

(2)$x=2k+p$,此時可以得到:如果$p\leq0.5$,那麼答案為$2k$,否則為$2k+1$

綜上所述:如果$x\in(2k+0.5,2k+1.5)$,答案為$2k+1$,否則$x\in[2k-0.5,2k+0.5]$,答案為$2k$

11 $\alpha < n < \beta \leftrightarrow \left \lfloor \alpha \right \rfloor < n < \left \lceil \beta \right \rceil$.當$a,b$為整數時,滿足$a12 令$n=km+t,0\leq t13(1)由後面向前證明比較簡單,即若$\frac+\frac=1$且都為無理數,那麼構成乙個劃分。

(2)由前向後證明:首先$\alpha,\beta$為有理數是必然是不行的,因為那樣的話必然會存在兩個整數$n_,n_$使得$n_\alpha=n_\beta$.所以只需要討論$\frac+\frac-\left \ \right \}-\left \ \right \}=n$是否在$\frac+\frac\neq1$的時候成立。

所以假設失敗。

14 首先,如果$ny=0$時顯然成立。

否則,$((x)mod(ny))mod(y)=(x-ny\left \lfloor \frac \right \rfloor)mod(y)=(x)mod(y)$

所以恆成立。

15 $\left \lceil mx \right \rceil=\sum_^\left \lceil x-\frac \right \rceil$

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