(數學)波斯公主選駙馬

2021-09-08 11:26:58 字數 895 閱讀 1598

波斯公主到了適婚年齡,要選駙馬。候選男子100名,都是公主沒有見過的。百人以隨機順序,從公主面前逐一經過。每當一位男子在公主面前經過時,公主要麼選他為駙馬,要麼不選。如果選他,其餘那些還沒有登場的男子就都遣散回家,選駙馬的活動也結束了。如果不選,當下這名男子就離開,也就是 pass 掉此人,下一人登場。被pass 掉的,公主不可以反悔再從選。規則是,公主必須在這百人中選出一人做駙馬,也就是說,如果前99人公主都看不中的話,她必須選擇第100名男子為駙馬,不管他有多麼醜陋。​​

任務是,給公主設計選擇方法,讓她有最高概率選到百人中最英俊的男子為駙馬。​​

說明一點是,沒有任何選擇方法能夠保證公主一定選擇到最帥的帥哥。對於任何選擇方法,總存在某些出場的順序,讓公主與帥哥錯過。所以,題目所問的,不是必勝的選法(因為不存在),而是概率最高的選法。

先給出答案:先拒絕前面的100/e名男子(e為自然對數,2.718...,100/e約等於37),記住這37名男子最英俊的乙個,接著在後面的男子中,找到第乙個比前面37名中最英俊的還英俊的男子,即為駙馬。如果沒遇上,那只好選第100個男子。

抽象為數學模型:即先拒絕掉k個人,然後在後面的人中找出更好的。

理論推導:如何求出最優的k呢?

對於某個固定的 k,如果最適合的人出現在了第 i 個位置(k < i ≤ n),要想讓他有幸正好被 mm 選中,就必須得滿足前 i-1 個人中的最好的人在前 k 個人裡,這有 k/(i-1) 的可能。考慮所有可能的 i,我們便得到了試探前 k 個男生之後能選中最佳男生的總概率 p(k):

用 x 來表示 k/n 的值,並且假設 n 充分大,則上述公式可以寫成:

對 -x · ln x 求導,並令這個導數為 0,可以解出 x 的最優值,它就是尤拉研究的神秘常數的倒數—— 1/e !

這個結論可以通過37%法則模擬實驗來測試一下有多大概率選中,有空再貼出**。

(數學)波斯公主選駙馬

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