位運算詳解

首先我們需要清楚位運算的一些基本知識。

與 a&b
或 a|b
非 ~a
異或 a^b
int 32位
1:0000000...1 
2:0000000...10
3:0000000...11
補碼(表示計算機中的負數): ~a+1是a的補碼即(-a)
memset(a,0x3f,sizeof a)//把這個a所佔的全部位元組初始化為0x3f(十六進製制)
0x3f3f3f3f*2 < 0xffffffff //乘2的話不會溢位
1 -> 10 -> 100
1<2^n
n>>x => n/2^x

這是位運算的一些基本知識。通過位運算來進行加減乘除，能夠很大的降低時間複雜度。

有了這些知識點之後我們可以用快速冪來做一道題，如下題所示。

這題需要求出a的b次方，有乙個問題就是資料範圍是a,b,p<=10e9，如果用for迴圈去遍歷相乘的話時間複雜度最壞是10e9，而計算機一般一秒能運算5.0*10e8，所以o(n)的時間複雜度肯定是不行的，這裡我們需要用到快速冪。

舉個例子:

3 7 6

我們知道要求3^7的值需要for迴圈7次，結果是2187

而如果使用快速冪的話是log級別的時間複雜度

因為7的二進位制**是111,我們可以通過二進位制**來乙個個的與3相乘。

即：3^1=3

3^2=9

3^4=81，

最後我們把這三個數相乘的話就能得到3^7的值是2187，實際上我們執行迴圈的次數只有三次，這題讓求mod 6之後的資料我們可以在每次相乘得到結果後%6這樣不會影響最後結果，而且還能防止溢位，因為最後的資料會很大，所以必須不斷乘不斷模，要注意的一點是這個兩個數相乘一次的時候可能會溢位，所以我轉換為了long long型的資料防止溢位，注意下方**注釋。

資料比較小還看不出來什麼，

如果是3 10000 6的話可以自行試一下，會發現只有二十次的相乘。

c++版本:

#include using namespace std;
int main()
cout
#include int main()

printf("%d",res);

return 0;

}這裡說說為什麼要a=a*1ll%p，舉個例子

3 5 2

5:101

3^1=3

3^4=27

1.res=1*3%2=1

a=3*3%2=1

2.a=1*1%2=1

3.res=1*1%2=1

a=1從這裡我們可以發現res儲存的是每次相乘取模之後的結果，對a再進行一次取模運算的話不會影響結果，但是如果不取模的話a會溢位的。（這裡因為題意是取模運算，如果只是普通的相乘的話不要mod啥。直接乘就行。)

下面我們來看第二道題:

這題的資料範圍是a,b,p<=10e8，也就最大是64位的整數，兩個64位的整數相乘能得到乙個128位的整數，如果用高精度演算法的話肯定能做出來，但是這題有乙個mod p,說明我們可以通過快速冪來去算出來。

舉個例子

3 5 7

5二進位制:101

3*1=3

3*4=12

12+3=15

c語言版本:

#include int main()
printf("%lld",res);
return 0;
}

以上就是快速冪了，下面還要說幾個地方。

/*
1.用異或來實現配偶
0,12,3
4,56,7
0^1=1 1^0=1
2^1=3 3^1=2
4^1=5 5^1=4
e[index]
e[index^1]
(在圖論裡挺有用的)
2.lowbit運算
假如有乙個二進位制數，我們想就求出來最右邊的1到末尾的值，
即x=1110001000 =>1000
~x+1=0001111000
(~x+1)&x=1000
所以lowbit運算可以這麼總結
int lowbit(int n)
3.n>>j&1 判斷二進位制第j位是否為1(二進位制)
i-(1<>k&1 把i減去2的j次方之後判斷第k位是否為1
m=1<<20 2的20次方
state|1<
*/

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