最簡單的NP Hard問題

本文介紹了最簡單的np-hard問題——數字分割槽問題，以及該問題的乙個偽多項式解法和兩個近似解法。

討論這樣乙個問題：給定乙個正整數的多重集合，能否將劃分為兩個子集和，使得中元素的和與中元素的和相等？在數論和電腦科學中，該問題被稱為是數字分割槽問題，儘管np完全，但是卻存在動態規劃的解法能夠在偽多項式時間內求解，並且在許多情況下，存在最佳或者是近似的解決方法。因此，這個問題也被稱為"最簡單的np-hard問題"。

比如給定多重集合存在子集和，這兩個子集劃分了。這個解並不是唯一的。和是另外一組解。

並不是所有的多重集合都能找到這個問題的解，比如。

在多重集合元素的個數和多重集合元素的和值不是很大時，可以採用動態規劃來解決。

假設問題的輸入是具有個正整數的多重集合

設為中元素的和值。那麼演算法就是找出乙個的子集，其和為。如果這樣的子集存在，那麼：

用來表示在中是否存在子集使得子集元素和為，如果存在，為；如果不存在，為。

那麼上面的問題就變成了判斷是否為。為了幫助解決這個問題，我們引入下面的命題：

當且僅當為或者為時，為。

下面來證明這個命題

證明：當為時，使得成立，，故為;

當為時，使得成立，則必有使得成立，，故為;

當為且為時，使得成立且使得成立，此時明顯使得成立（反證法可證）。

綜上，當且僅當

使用python來簡單實現上面的演算法:

#!/usr/bin/env python
import numpy as np
def find_partition(s):
n = len(s)
k = sum(s)
p = np.zeros((k / 2 + 1, n + 1), dtype=bool)
p[0] = true
for i in range(1, k/2+1):
for j in range(1, n+1):
p[i][j] = p[i][j-1]
if i >= s[j-1]:
p[i][j] = p[i][j] or p[i-s[j-1]][j-1]
return p[k/2][n]
test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(find_partition(test_list))
複製**

程式的輸出結果如下

true 複製**

下面的**是程式中的資料{}0

true

1false

false

true

2false

false

true

3false

true

4false

false

true

5false

false

true

上面演算法的時間複雜度為，其中，是輸入多重集合元素的個數，是多重集合中所有元素的和。

如果將問題變成將乙個多重集合分為個和相等的子集，演算法的空間複雜度將為，其中是輸入中最大的值。在這樣的情況下，即使也很難應用這樣的演算法，除非輸入的都是一些小數字。

有一些啟發式演算法可以用來求這個問題的近似解。

想象一下一群孩子分撥玩遊戲的場景，商量好分成幾撥後，每次選出乙個人，加入到人少的那一撥中，貪心演算法的過程類似。在這個問題中，多重集合按降序排列，依次遍歷，每次選出乙個數新增到和值較小的子多重集合中。這個演算法的時間複雜度為。該演算法在實際中能夠得到近似解，但是不保證能得到最優解。比如，輸入多重集合，貪心演算法會將分為和這兩個子多重集合，但是最優解是存在的，比如和。

貪心演算法能得到最優解法的近似解；這個意思是說，設最優解中較大多重集合的和為，貪心演算法輸出兩個多重集合和，那麼有。

python版本的**如下：

def find_partition(input_list):
a, b = , 
sum_a, sum_b = 0, 0
for n in sorted(input_list, reverse=true):
if sum_a < sum_b:
sum_a += n
else:
sum_b += n
return a, b
test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(find_partition(test_list))
複製**

程式結果輸出如下

([2, 2, 1], [3, 1, 1])
複製**

在這個問題中，上面的解法針對的是的情況，貪心演算法還可用於個分割槽的情況。對的情況，演算法的時間複雜度是，能得到最優解法的近似解。現在，對於數字多重集合劃分問題，我們有乙個多項式時間近似方案，儘管這不是乙個完全多項式時間近似方案。

另一種啟發式演算法是最大差分法，該演算法也被稱之為karmarkar-karp啟發式演算法。最大差分法分兩個階段執行。演算法的第一階段從輸入中取出最大的兩個數，用它們的差來替換它們；迴圈此過程直到只剩下乙個數字。替換表示將這兩個數字放在不同的集合中，但是不確定具體的集合。在第一階段結束時，剩下的數字就是兩個子集和值的差。第二個階段構造出真正的解法。

在這個問題中，差分演算法比貪心演算法效果更好，但對於數字大小和集合大小呈指數關係的情況仍然不適用。

下面的python**實現了演算法的第一階段

from queue import priorityqueue
def karmarkarkarppartition(input_list):
heap = priorityqueue()
for n in input_list:
heap.put((-n, n))
while heap.qsize() > 1:
val1 = heap.get()[1]
val2 = heap.get()[1]
sub_ret = val1 - val2
heap.put((-sub_ret, sub_ret))
return heap.get()[1]
test_list = [3, 1, 1, 2, 2, 1]
print(karmarkarkarppartition(test_list))
複製**

測試輸出為

0 複製**

最簡單的NP Hard問題

P NP NPC與NP hard問題的定義

P NP NPC和NP hard問題的理解

關於P NP NPC和NP Hard問題

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