高數學習的基本要求

2021-09-11 18:12:20 字數 3703 閱讀 4898

1.函式、極限、連續

(1) 在中學已有函式知識的基礎上,加深對函式概念的理解和函式性質(奇偶性、單調性、週期性和有界性)的了解。

(2) 理解復合函式的概念,了解反函式的概念。

(3) 會建立簡單實際問題中的函式關係式。

(4)理解極限的概念,了解極限的ε-n,ε-δ定義(不要求學生做給出ε求n或δ的習題)。

(5)掌握極限的有理運算法則,會用變數代換求某些簡單復合函式的極限。

(6) 了解極限的性質(唯一性、有界性、保號性)和兩個存在準則(夾逼準則與單調有界準則),會用兩個重要極限

求極限。

(7) 了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念,會用等價無窮小求極限。

(8) 理解函式在一點連續和在一區間上連續的概念。

(9) 了解函式間斷點的概念,會判別間斷點的型別。

(10) 了解初等函式的連續性和閉區間上連續函式的介值定理與最大值、最小值定理。

2.一元函式微分學及其應用

(1) 理解導數的概念及其幾何意義(不要求學生做利用導數的定義研究抽象函式可導性的習題),了解函式的可導性與連續性之間的關係。

(2) 了解導數作為函式變化率的實際意義,會用導數表達科學技術中一些量的變化率。

(3) 掌握導數的有理運算法則和復合函式的求導法,掌握基本初等函式的導數公式。

(4) 理解微分的概念,了解微分概念中所包含的區域性線性化思想,了解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性。

(5) 了解高階導數的概念,掌握初等函式一階、二階導數的求法(不要求學生求函式的階導數的一般表示式)。

(6) 會求隱函式和由引數方程所確定的函式的一階導數以及這兩類函式中比較簡單的二階導數,會解一些簡單實際問題中的相關變化率問題。

(7) 理解羅爾(rolle)定理和拉格朗日(lagrange)定理,了解柯西(cauchy)定理(對三個定理的分析證明不作要求,並且不要求學生掌握構造輔助函式證明相關問題的技巧),會用洛必達(l'hospital)法則求不定式的極限。

(8) 了解泰勒(taylor)定理以及用多項式逼近函式的思想(對定理的分析證明以及利用泰勒定理證明相關問題不作要求)。

(9) 理解函式的極值概念,掌握用導數判斷函式的單調性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值與最小值的應用問題。

(10) 會用導數判斷函式圖形的凹凸性,會求拐點,會描繪一些簡單函式的圖形(包括水平和鉛直漸近線)。

(11) 了解曲率和曲率半徑的概念,會計算曲率和曲率半徑。

(12) 了解求方程近似解的二分法和切線法的思想。

3.一元函式積分法及其應用

(1) 理解定積分的概念和幾何意義(對於利用定積分定義求定積分與求極限不作要求),了解定積分的性質和積分中值定理。

(2) 理解原函式與不定積分的概念,理解變上限的積分作為其上限的函式及其求導定理,掌握牛頓-萊布尼茨(newton-leibniz)公式。

(3) 掌握不定積分的基本公式以及求不定積分、定積分的換元法與分部積分法(淡化特殊積分技巧的訓練,對於求有理函式積分的一般方法不作要求,對於一些簡單有理函式、三角有理函式和無理函式的積分可作為兩類積分法的例題作適當訓練)。

(4) 掌握科學技術問題中建立定積分表示式的元素法(微元法),會建立某些簡單幾何量和物理量的積分表示式。

(5) 了解兩類反常積分及其收斂性的概念。

(6) 了解定積分的近似計算法(梯形法和拋物線法)的思想。

4.多元函式微分學及其應用

(1) 理解二元函式的概念,了解多元函式的概念。

(2) 了解二元函式的極限與連續性的概念,了解有界閉區域上連續函式的性質。

(3) 理解二元函式偏導數與全微分的概念,了解全微分存在的必要條件與充分條件。

(4) 了解一元向量值函式及其導數的概念與計算方法。

(5) 了解方向導數與梯度的概念及其計算方法。

(6) 掌握復合函式一階偏導數的求法,會求復合函式的二階偏導數(對於求抽象復合函式的二階導數,只要求作簡單訓練)。

(7) 會求隱函式(包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函式)的一階偏導數(對求二階偏導數不作要求)。

(8) 了解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線,並會求出它們的方程。

(9) 理解二元函式極值與條件極值的概念,會求二元函式的極值,了解求條件極值的拉格朗日乘數法,會求解一些比較簡單的最大值與最小值的應用問題。

5.多元函式積分學及其應用

(1) 理解二重積分的概念,了解三重積分的概念,了解重積分的性質。

(2) 掌握二重積分的計算方法(直角座標、極座標),會計算簡單的三重積分(直角座標、柱面座標,*球面座標)。

(3) 理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關係,會計算兩類曲線積分(對於空間曲線積分的計算只作簡單訓練)。

(4) 掌握格林(green)公式,會使用平面線積分與路徑無關的條件,了解第二類平面線積分與路徑無關的物理意義。

(5) 了解兩類曲面積分的概念及其計算方法。

(6) 了解高斯(gauss)公式,斯托克斯(stokes)公式(斯托克斯公式的證明以及利用該公式計算空間曲線積分不作要求)。

*(7) 了解場的基本概念,了解散度、旋度的概念和某些特殊場(無源場、無旋場與調和場),會計算散度與旋度。

(8) 了解科學技術問題中建立重積分與曲線、曲面積分表示式的元素法(微元法),會建立某些簡單的幾何量和物理量的積分表示式。

6.無窮級數

(1) 理解無窮級數收斂、發散以及和的概念,了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件。

(2) 了解正項級數的比較審斂法以及幾何級數與-級數的斂散性,掌握正項級數的比值審斂法。

(3) 了解交錯級數的萊布尼茨定理,會估計交錯級數的截斷誤差。了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關係。

(4) 了解函式項級數的收斂域與和函式的概念,掌握簡單冪級數收斂區間的求法(區間端點的收斂性不作要求)。了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質(對求冪級數的和函式只要求作簡單訓練)。

(5) 會利用ex,sinx,cosx,ln(1+x)與(1+x)α的麥克勞林(maclaurin)展開式將一些簡單的函式展開成冪級數。

(6) 了解利用將函式展開為冪級數進行近似計算的思想。

(7) 了解用三角函式逼近週期函式的思想,了解函式展開為傅利葉(fourier)級數的狄利克雷(dirichlet)條件,會將定義在(-π,π)和(-l,l)上的函式展開為傅利葉級數,會將定義在(0,l)上的函式展開為傅利葉正弦或余弦級數。

7.常微分方程

(1) 了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。

(2) 掌握變數可分離的方程及一階線性微分方程的解法。

(3) 會解齊次方程,並從中領會用變數代換求解微分方程的的思想。

(4) 會用降階法求下列三種型別的高階方程:

(5) 理解二階線性微分方程解的結構。

(6) 掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法,了解高階常係數齊次線性微分方程的解法。

(7) 會求自由項形如pn(x)eαx,eαx(acosβx+bsinβx)的二階常係數非齊次線性微分方程的特解,其中pn(x)為實係數n次多項式,α,β,a,b為實數。

(8) 會通過建立微分方程模型,解決一些簡單的實際問題。

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