最近看到一篇有關 perfect hash 生成演算法的文章，感覺很有必要寫篇文章推薦下：
先解釋下什麼是 perfect hash：perfect hash 是這樣一種演算法，可以對映給定 n 個 keys 到 n 個不同的的數字
裡。由於沒有 hash collision，這種 hash 在查詢時時間複雜度是真正的o(1)。外加乙個「最小」字首，則是要
求生成的 perfect hash 對映結果的上界盡可能小。舉個例子，假設我有 100 個字串，如果存在這樣的最小
perfect hash 演算法，可以把 100 個字串一一對映到 0 ～99 個數里，我就能用乙個陣列儲存全部的字串，然
後在查詢時先 hash 一下，取 hash 結果作為下標便可知道給定字串是否在這 100 個字串裡。總時間複雜度
為o(n)的 hash 過程 +o(1)的查詢，而所占用的空間只是乙個陣列（外加乙個圖 g，後面會講到）。
聽到前面的描述，你可能想到 trie （字首樹）和類似的 ac 自動機演算法。不過討論它們之間的優劣和應用場景不
是本文的主題（也許以後我有機會可以寫一下）。本文的主題在於介紹一種生成最小 perfect hash 演算法。
這種演算法出自於一篇 1992 年的**《an optimal algorithm for generating minimal perfect hash functions》。
演算法的關鍵在於把判斷某個 hash 演算法是否為 perfect hash 演算法的問題變成乙個判斷圖是否無環的問題。
注意該演算法最終生成的圖 g 在不同的執行次數裡大小可能不一樣，你可能需要多跑幾次結果生成多個 g，取其中最小者
。以下就是演算法的步驟：
給每個 keys 分配乙個從零開始遞增的 id，比如
boy 1
cat 2
dog 3
選擇乙個稍微比 k 大一點的數 n。比如 n = 6。
隨機選擇兩個 hash 函式 f1(x) 和 f2(x)。這兩個函式接收 key，返回 0 ～ n-1 中的乙個數。比如
f1(x) = (x[0] + x[1] + x[2] + ...) % n
f2(x) = (x[0] * x[1] * x[2] * ...) % n
以 f1(x) 和 f2(x) 的結果作為節點，連線每個 f1(key) 和 f2(key) 節點，我們可以得到乙個圖 g。這個圖最
多有 n 個節點，有 k 條邊。
比如前面我們挑的函式裡，f1(x) 和 f2(x) 的結果如下表：
key f1(x) f2(x)
boy 0 0
cat 0 0
dog 2 0
| |
--- dog ---------0 -- boy -
| |
--- cat -
判斷圖 g 是否無環。我們可以隨機選擇乙個節點進行塗色，然後遍歷其相鄰節點。如果某個節點被塗過色，說
明當前的圖是有環的。顯然上圖就是有環的。
如果有環，增加 n，回到步驟 3。比如增加 n 為 7。
如果無環，則對每個節點賦值，確保同一條的兩個節點的值的和為該邊的 id。
（別忘了有多少個 key 就有多少條邊，而每個 key 都在步驟 1 裡面分配了個 id）
沿用前面的例子，當 n 為 7 時，f1(x) 和 f2(x) 的結果如下表：
key f1(x) f2(x)
boy 1 0
cat 4 3
dog 6 4
|---- boy --- 1
4 --- cat --- 3
|---- dog --- 6
我們可以每次選擇乙個沒被賦值的節點，賦值為 0，然後遍歷其相鄰節點，確保這些節點和隨機選擇的節點的值的
和為該邊的 id，直到所有節點都被賦值。這裡我們假設隨機選取了 5 號節點和 3 號節點，賦值後的圖是這樣的：
|---- boy --- 1(1)
4(2) --- cat --- 3(0)
|---- dog --- 6(1)
現在圖 g 可以這麼表示：
int g[7] =p(x) = (g[f1(x)] + g[f2(x)]) % n# n = 7
key f1(x) f2(x) g[f1(x)] g[f2(x)] p(x)
boy 1 0 1 0 1
cat 4 3 2 0 2
dog 6 4 1 2 3
p(x)返回的值正好是 key 的 id，所以拿這個 id 作為 keys 的 offset 就能取出對應的 key 了。
注意，如果輸入 x 不一定是 keys 中的乙個 key，則p(x)的算出來的 offset 取出來的 key 不一定匹配輸入
的 x。你需要匹配下x 和 key 兩個字串。
關於圖 g，有兩點需要解釋下：
如果步驟 3 中隨機選取的 f1(x)，f2(x) 不同，則最終生成的 g 亦不同。實踐表明，最終生成的 g 大小為 k
的 1.5 ～ 2 倍。你應該多次執行這個最小 perfect hash 生成演算法，取其中生成的 g 最小的一次。
由於 g 是無環的，所以其用到的節點數至少為 k + 1 個。而 g 裡面用到的節點數最多為 1.5k 到 2k。所以
有一半以上的節點是有值的。這也是為什麼可以用乙個 g 陣列來表示圖 g 裡面每個點對應的值。
這個演算法背後的數學原理並不深奧。
如果你能找到這樣的p(key)，令p(key)的結果恰好等於key在keys裡面的 offset，則p(key)
必然是最小 perfect hash 演算法。因為keys[p(key)]只能是key，不可能會有兩個結果；而且也找不到比
比 keys 的個數更小的 perfect hash 了，再小下去必然會有 hash collision。
如果我們設計出這樣的乙個圖 g，它有 k 條邊，每條邊對應乙個 key，邊的兩端節點的和為該邊（key）的 offset
，則 p(x) 就是先算得兩端節點的值，然後求和。兩端節點的值可以通過隨機選取乙個節點為 0，然後給每個相鄰
節點賦值的方式決定，前提是這個圖必須是無環的，否則乙個節點就可能被賦予兩個值。所以我們首先要檢查生成
出來的圖 g 是否是無環的。
你可能會問，為什麼生成出來的 p(x) 是(g[f1(x)] + g[f2(x)]) % n，而不是g[f1(x)] + g[f2(x)]？我看
了原文裡面的**實現（就在本文開頭所給的鏈結裡），他在計算每個節點值時，不允許值為負數。比如節點 a 為 5，
邊的 id 為 3，n 為 7，則另一端的節點 b 為 9（而不是 -2）。之所以這麼做，是因為**裡面說g(x)是乙個對映
x到[0,k]的函式，然後 p(x) 裡面需要% k。而**裡則把g(x)實現成對映 x 到[0,n]的函式，順理
成章地後面就要% n了。
但其實如果我們允許值為負數，則g[f1(x)] + g[f2(x)]就能滿足該演算法背後的數學原理了。這麼改的好處在
於計算時可以省掉乙個相對昂貴的取餘操作。
我改動了下**實現，改動後的結果也能通過所有的測試（我另外還添了個 fuzzy test），所以這麼改應該沒有
問題。
分享一種最小 Perfect Hash 生成演算法
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分享是一種品質
相信很多人都有這樣的經歷 在乙個問題上和別人競爭，當自己掌握一些有用的資訊時總是嚴加保護，覺得自己手中握著屠龍寶刀並絲毫不洩漏半點有關資訊，生怕別人會奪了自己的風頭。即使在我們大學中，這種現象也有，臨近考試的時候，有的所謂高手花了很大的精力，把老師圈起來的重點整理了出來作為自己的複習資料，並且不告訴...
Godtear,分享是一種境界，開源是一種信仰
轉眼間，接觸.net技術已經6年了。作為乙個非科班的軟體工程師，自學之路離不開那許許多多在技術社群中熱衷於分享和幫助的人，我敬重他們。一直以來，都想參與技術的分享和交流之其中,卻因為自身的淺薄而無勇氣,今天特別在寫下第一段文字，希望給自己和大家拋磚引玉。同步，我在codeplex 建立了乙個開源工程...