如何從動態規劃的角度去看問題

演算法導論(mit 6.006 第19講)

1: 定義子問題

計算子問題的數量

2:猜測（嘗試所有可能的方式，獲取最好的）

計算選擇的數量

3: 關聯所有的子問題

計算單個子問題所需要處理的時間

4: 重用子問題結果並記下新的結果，或者使用dp的bottom-up方式（需要注意沒有環）

計算總耗時

5: 解決原有的問題

對結果進行組合等等會劃掉部分額外的時間

總的來說就是：嘗試所有可能的子問題的結果，將最好的可能子結果儲存下來，然後重複利用已經解決的子問題，遞迴去解決所有的問題(猜測+記憶+遞迴)

它消耗的時間為：子問題的數量 * 每個子問題處理所需要時間

fib(n):
if n<=2:f=1;
else: f= fib(n-1)+fib(n-2);
return f;

這種方式的執行時間為 $\theta$($2^$),空間為o(1)

t(n)=t(n-1)+t(n-2)+o(1) $\geq$ 2t(n-2)= $\theta$($2^$)

fib(n):
memo={}
if n in memo:return memo[n];
if n<=2:f=1;
else f=fib(n-1)+fib(n-2);
memo[n]=f;
return f;

這種方式的執行時間為$\theta(n)$,空間為o(n)

memo的存在使得實際產生呼叫的只有 fib(1) .... fib(n),共n次，區域的直接從memo中獲取，使用常量的時間

fib(n):
fib={}
for i in range(1,n+1):
if i<=2: f=1
else: f=fib[i-1]+fib[i-2]
fib[i]=f
return fib[n]

這種方式的執行時間為$\theta(n)$,空間可以只用o(1)

它可以看做是一種拓撲排序（針對dag），對於使用空間其實只需要記住前兩個即可

要求s到t的最短路徑，那麼必定會經過與t相鄰的一條邊，如圖示的u,那麼最短路徑$\delta(s,t)$=$min_(\delta(s,u)+w(u,t))$

$\delta(s,u)$就是需要遞迴呼叫處理的部分

對於dag：$\delta(s,t)$每個子問題的處理時間為 indegree(t)+o(1)

indegree(t):入度數也就是類似(u,t)邊的數量，需要去遍歷所有t的入邊

o(1):判斷是不是有入邊

總共的執行時間為

要求s到v的最短路徑 $\delta(s,v)$,首選需要去求 $\delta(s,a)$,然後是$\delta(s,b)$,到b節點有兩條路徑：$\delta(s,s)$和$\delta(s,v)$，此時去memo中查$\delta(s,v)$是不存在的，又會這回查詢，導致了乙個死迴圈

方式是去環，將原來的圖一層一層的展開。

假設從s到v需要的路徑為k步，那麼可以得到 $\delta_k(s,v)$=$min_(\delta_(s,b)+w(b,v))$,當k遞減到0的時候，其實也就是從s到s本身

所需要的展開層數為：|v|-1

對於求最短路徑來講，最長不能超過|v|-1，否則就是成環，會造成迴圈的情況（從0開始的計數），這就是為什麼bellman-ford的外層迴圈是 |v|-1

每層的節點數為所有的節點。那麼總共的節點數為|v'|=|v|(|v|-1)+1=o($v^2$),邊數是|e'|=|e|(|v|-2)+1=o(ve)。轉換後的圖是dag圖，那麼實際上的時間為o(v'+e')=o(ve)。這也就是從動態規劃的角度去看bellman-ford演算法

節點的數目是1個源點,邊的數目是每多一層實際上就多了加了一遍所有的邊。

例子

斐波那契數列

最短路徑

1:定義子問題

$f_k$ 其中$1\leq k \leq n$

$\delta_k(s,v)$ 其中 $v\in v, 0\leq k < v $

子問題數量

n$v^2$

2:猜測

什麼都沒做，完全是定義

節點v的入邊(如果存在的話)

選擇的數量

1v的入邊數+1

3:關聯所有的子問題

$f_k=f_+f_$

$\delta_k(s,v) =min_(\delta_(s,u)+w(u,v))$

子問題的時間

$\theta(1)$

$\theta(1+入度(v))$

4:重用子問題結果並記下新的結果

for k=1,..,n

for k=0,1,..,v-1

總共耗時

$\theta(n)$

$\theta(ve)+\theta(v^2)$ (如果存在入度，就有後項)

5:解決原有的問題

$f_n$

$\delta_(s,v) ,v \in v$

額外耗時

$\theta(1)$

$\theta(v)$(bellman-ford最後的遍歷)

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