最長回文串

**於：

最長回文子串問題：給定乙個字串，求它的最長回文子串長度。

如果乙個字串正著讀和反著讀是一樣的，那它就是回文串。下面是一些回文串的例項：

12321 a aba abba aaaa tattarrattat（牛津英語詞典中最長的回文單詞）

對於最長回文子串問題，最簡單粗暴的辦法是：找到字串的所有子串，遍歷每乙個子串以驗證它們是否為回文串。乙個子串由子串的起點和終點確定，因此對於乙個長度為n的字串，共有n^2個子串。這些子串的平均長度大約是n/2，因此這個解法的時間複雜度是o(n^3)。

顯然所有的回文串都是對稱的。長度為奇數回文串以最中間字元的位置為對稱軸左右對稱，而長度為偶數的回文串的對稱軸在中間兩個字元之間的空隙。可否利用這種對稱性來提高演算法效率呢？答案是肯定的。我們知道整個字串中的所有字元，以及字元間的空隙，都可能是某個回文子串的對稱軸位置。可以遍歷這些位置，在每個位置上同時向左和向右擴充套件，直到左右兩邊的字元不同，或者達到邊界。對於乙個長度為n的字串，這樣的位置一共有n+n-1=2n-1個，在每個位置上平均大約要進行n/4次字元比較，於是此演算法的時間複雜度是o(n^2)。

對於乙個比較長的字串，o(n^2)的時間複雜度是難以接受的。can we do better?

先來看看解法2存在的缺陷。

1) 由於回文串長度的奇偶性造成了不同性質的對稱軸位置，解法2要對兩種情況分別處理；

2) 很多子串被重複多次訪問，造成較差的時間效率。

缺陷2）可以通過這個直觀的小?體現：

char: a b a b a i : 0 1 2 3 4

當i==1，和i==2時，左邊的子串aba分別被遍歷了一次。

如果我們能改善解法2的不足，就很有希望能提高演算法的效率。manacher正是針對這些問題改進演算法。

manacher演算法首先對字串做乙個預處理，在所有的空隙位置(包括首尾)插入同樣的符號，要求這個符號是不會在原串**現的。這樣會使得所有的串都是奇數長度的。以插入#號為例：

aba  ———>  #a#b#a#
abba ———> #a#b#b#a#

插入的是同樣的符號，且符號不存在於原串，因此子串的回文性不受影響，原來是回文的串，插完之後還是回文的，原來不是回文的，依然不會是回文。

我們把乙個回文串中最左或最右位置的字元與其對稱軸的距離稱為回文半徑。manacher定義了乙個回文半徑陣列rl，用rl[i]表示以第i個字元為對稱軸的回文串的回文半徑。我們一般對字串從左往右處理，因此這裡定義rl[i]為第i個字元為對稱軸的回文串的最右乙個字元與字元i的距離。對於上面插入分隔符之後的兩個串，可以得到rl陣列：

char: # a # b # a # rl : 1 2 1 4 1 2 1 rl-1: 0 1 0 3 0 1 0 i : 0 1 2 3 4 5 6 char: # a # b # b # a # rl : 1 2 1 2 5 2 1 2 1 rl-1: 0 1 0 1 4 1 0 1 0 i : 0 1 2 3 4 5 6 7 8

上面我們還求了一下rl[i]-1。通過觀察可以發現，rl[i]-1的值，正是在原本那個沒有插入過分隔符的串中，以位置i為對稱軸的最長回文串的長度。那麼只要我們求出了rl陣列，就能得到最長回文子串的長度。

於是問題變成了，怎樣高效地求的rl陣列。基本思路是利用回文串的對稱性，擴充套件回文串。

我們再引入乙個輔助變數maxright，表示當前訪問到的所有回文子串，所能觸及的最右乙個字元的位置。另外還要記錄下maxright對應的回文串的對稱軸所在的位置，記為pos，它們的位置關係如下。

我們從左往右地訪問字串來求rl，假設當前訪問到的位置為i，即要求rl[i]，在對應上圖，i必然是在po右邊的(obviously)。但我們更關注的是，i是在maxright的左邊還是右邊。我們分情況來討論。

1）當i在maxright的左邊

情況1)可以用下圖來刻畫：

我們知道，圖中兩個紅色塊之間（包括紅色塊）的串是回文的；並且以i為對稱軸的回文串，是與紅色塊間的回文串有所重疊的。我們找到i關於pos的對稱位置j，這個j對應的rl[j]我們是已經算過的。根據回文串的對稱性，以i為對稱軸的回文串和以j為對稱軸的回文串，有一部分是相同的。這裡又有兩種細分的情況。

以j為對稱軸的回文串比較短，短到像下圖這樣。

這時我們知道rl[i]至少不會小於rl[j]，並且已經知道了部分的以i為中心的回文串，於是可以令rl[i]=rl[j]。但是以i為對稱軸的回文串可能實際上更長，因此我們試著以i為對稱軸，繼續往左右兩邊擴充套件，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。

以j為對稱軸的回文串很長，這麼長：

這時，我們只能確定，兩條藍線之間的部分（即不超過maxright的部分）是回文的，於是從這個長度開始，嘗試以i為中心向左右兩邊擴充套件，，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。

不論以上哪種情況，之後都要嘗試更新maxright和pos，因為有可能得到更大的maxright。

具體操作如下：

step 1: 令rl[i]=min(rl[2*pos-i], maxright-i)
step 2: 以i為中心擴充套件回文串，直到左右兩邊字元不同，或者到達邊界。
step 3: 更新maxright和pos

2）當i在maxright的右邊

遇到這種情況，說明以i為對稱軸的回文串還沒有任何乙個部分被訪問過，於是只能從i的左右兩邊開始嘗試擴充套件了，當左右兩邊字元不同，或者到達字串邊界時停止。然後更新maxright和pos。

#python
def manacher(s):
#預處理
s='#'+'#'.join(s)+'#'
rl=[0]*len(s)
maxright=0
pos=0
maxlen=0
for i in range(len(s)):
if i=0 and i+rl[i]maxright:
maxright=rl[i]+i-1
pos=i
#更新最長回文串的長度
maxlen=max(maxlen, rl[i])
return maxlen-1

空間複雜度：插入分隔符形成新串，占用了線性的空間大小；rl陣列也占用線性大小的空間，因此空間複雜度是線性的。

時間複雜度：儘管**裡面有兩層迴圈，通過amortized analysis我們可以得出，manacher的時間複雜度是線性的。由於內層的迴圈只對尚未匹配的部分進行，因此對於每乙個字元而言，只會進行一次，因此時間複雜度是o(n)。

最長回文串

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