將乙個整數 M 分解成 K 個數之和的方法數

2021-09-18 02:55:06 字數 610 閱讀 5866

記錄乙個遇見的問題,關於將乙個整數 m 分解成 k 個數之和:

1,首先 k 個數不能有 0 ,如果有 0 也很簡單啊,將問題進一步分解成「將整數 m 分解成 k-1 個數之和」,以此類推一直到分解成 1 個數之和,所有相加就可以得出數量;

2,對於順序顛倒不算,比如將 3 分解成 2 個數之和,可以分成 2 和 1,其中 1 和 2 也是一樣的,所以 3 分解成 2 個數的分法是 1 種。

這個問題首先我們用遞迴的思路,這樣子好理解,通過遞推公式,完全可以改寫成 dp:

首先給出結論,f(m, k) = f(m-1, k-1) + f(m-k, k)

s.t. f(m, k) = 1, if k == 1 of m == k;

f(m, k) = 0, if m < k.

接下來進行分析:

1,f(m-1, k-1)怎麼理解呢,就是把第 k 個數放成 1,然後把剩下的 m-1 這個數分成 k-1 份,可以分的方法數,就是相當於最後乙個是 1 的所有分的方法數;

2,f(m-k, k) 其實表現的就是,就是第 k 個數不是 1,可以分的方法數。這個原因是什麼呢,就是相當於給 k 個位置,每個位置先放乙個 1,接下來剩下的 m-k ,這個數字再往這 k 個位置上分。

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