動態規劃（二）

本次通過兩個簡單的演算法題來進一步練習和理解動態規劃，廢話不多說，來上題吧。

給出乙個陣列，如[6,1,1,9,3]在裡面取任意個數，要求所取得數的位置不能相鄰，比如取了第乙個數就不能取第二個數，但是可以取第三第四個數，求取出數之和的最大值。

下面來讓我們分析一下這個題，我們可以分解成求每一位的最優解，從前往後查，如果要求第n個數的最優解，那麼只能有兩種情況：

第一種情況是取第n個數和第n+2個數的最優解

第二種情況是取第n+1個數的最優解

因此fib( n ) = max ( arr[n] + fib(n-2) , fib(n-1) )，下面我們用遞迴來解決一下這個問題：

遞迴

static
void
main()
; console.
writeline
(max_sum(0
, arr));
console.
read()
;}static
intmax_sum
(int index,
int[
] arr)

自頂而下

static
void
main()
; dictionary<
int,
int> index_max = new dictionary<
int,
int>()
; console.
writeline
(max_sum(0
, arr, index_max));
console.
read()
;}static
intmax_sum
(int index,
int[
] arr, dictionary<
int,
int> index_max)
if(index_max.
containskey
(index +1)
) b = index_max[index +1]
;else
return a > b ? a : b;
}

自底而上

static
void
main()
;int
opt = new int
[arr.length]
; opt[0]
= arr[0]
;if(arr[1]
> opt[0]
) opt[1]
= arr[1]
;else
opt[1]
= opt[0]
;for
(int i =
2; i < arr.length; i++
) opt[i]
= arr[i]
+ opt[i -2]
> opt[i -1]
? arr[i]
+ opt[i -2]
: opt[i -1]
; console.
writeline
(opt[arr.length -1]
);console.
read()
;}

這個題我在leetcode上練習時遇到的，雖然不難，但是容易陷入思維誤區。

陣列的每個索引做為乙個階梯，第 i個階梯對應著乙個非負數的體力花費值 cost[i]（索引從0開始）。每當你爬上乙個階梯你都要花費對應的體力花費值，然後你可以選擇繼續爬乙個階梯或者爬兩個階梯。您需要找到達到樓層頂部的最低花費。在開始時，你可以選擇從索引為 0 或 1 的元素作為初始階梯。

示例 1:

輸入: cost = [10, 15, 20]

輸出: 15

解釋: 最低花費是從cost[1]開始，然後走兩步即可到階梯頂，一共花費15。

示例 2:

輸入: cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]

輸出: 6

解釋: 最低花費方式是從cost[0]開始，逐個經過那些1，跳過cost[3]，一共花費6。

注意：cost 的長度將會在 [2, 1000]。

每乙個 cost[i] 將會是乙個integer型別，範圍為 [0, 999]。

這個題是不是和上一題很像？

上乙個題是fib(n)=max(arr[n]+fib(n-2),fib(n-1))求的是最大值，這個題求得是最小值是不是應該是fib(n)=min(arr[n]+fib(n-2),fib(n-1))?

這和我一開始想的一樣的，但實際上這樣是不對的，如果按照這個思路來寫只會輸出最初的最小值，你可以自行寫一下看看。

這個題實際上是fib(n)=min(fib(n-1),fib(n-2))+arr[n]

因為最後乙個台階是必要走的，可以這樣理解，如果只有乙個台階，那這個台階是必須要走的。

static
void
main()
;int
opt = new int
[cost.length+1]
; opt[0]
=0; opt[1]
= cost[0]
;for
(int i =
1; i < cost.length; i++
) opt[i +1]
=(opt[i]
< opt[i -1]
? opt[i]
: opt[i -1]
)+ cost[i]
; console.
writeline
(opt[cost.length]
< opt[cost.length -1]
? opt[cost.length]
: opt[cost.length -1]
);console.
read()
;}

動態規劃（二）

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