演算法題動態規劃或者BFS之最小路徑和

給定乙個包含非負整數的 m x n 網格，請找出一條從左上角到右下角的路徑，使得路徑上的數字總和為最小。

說明：每次只能向下或者向右移動一步。

示例:
輸入:[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]輸出: 7
解釋: 因為路徑 1→3→1→1→1 的總和最小。

dfs 和 bfs 就好比：你站在乙個多叉口，往前走。 dfs就是沿著一條路一直走，走完了再返回來重新走下一條。 bfs就是你多條路同時進度走，（假如有穿牆的技能）每條路都走一走。（當然，這個例子我覺得和題目比較相關，所以這麼舉例來說明區別，還有乙個是在每個房間找鑰匙的例子來說明區別，詳細的可以參考《大話資料結構》這本書）

繼續：根據這個例子，可以想到，如果你要驗證從起點能不能到達終點，dfs比較好，也就是圖的連通性。判斷哪條路比較近的話 dfs 和 bfs 理論上的時間複雜度是一樣的，dfs 遞迴寫法簡單一些，但是有可能會爆棧。bfs採用佇列，稍微複雜，比較穩定。碰到具體最短路徑的問題，如果選項只有 bfs 和 dfs 的話，根據實際問題分析，可以兩種演算法思路都考慮一下，如果沒什麼差別的話，我一般選擇bfs，（主要擔心dfs爆棧，需要不斷的剪枝優化）。

// 最小路徑和：矩陣左上角到右下角的最小路徑

// 思路：相當於求兩點之間的最短路徑，所以可以用 bfs

// 使用 visited 二維陣列儲存路徑，借鑑自求遞增路徑的題目

class solution

int minpathsum(vector>& grid)

if ((n = grid[0].size()) == 0)

// 初始化 visited 二維陣列

vector> visited(m, vector(n, int_max));

queuerowqueue;

queuecolqueue;

// 遍歷連通分支（因為矩陣作為圖，肯定連通，所以不用迴圈來遍歷每個連通分支）

// 左上角開始

visited[0][0] = grid[0][0];

rowqueue.push(0);

colqueue.push(0);

int row = 0;

int col = 0;

int r_row = 0;

int r_col = 0;

int d_row = 0;

int d_col = 0;

while (!rowqueue.empty())

// 這裡因為存在int_max 的加法來求路徑和會出現溢位，所以利用減法再加法來避免

visited[r_row][r_col] = min(visited[row][col], visited[r_row][r_col] - grid[r_row][r_col]) + grid[r_row][r_col];

}if (d_row < m && d_col < n)

visited[d_row][d_col] = min(visited[row][col], visited[d_row][d_col] - grid[d_row][d_col]) + grid[d_row][d_col];

}} return visited[m - 1][n - 1];

}};int main()

,, };

cout開頭已經說明，這道題目是動態規劃的題目，所以在這裡附上動態規劃的做法。

思路首先，題目分析可以看出來，從左上角到右下角路徑和，中間節點的路徑和都可以根據前邊已經求出的計算出來。

在乙個矩陣中，因為只能往右和下側走，所以第一行節點的入口只有左側元素，第一列入口只有上乙個元素，所以到這些點的路徑和可以直接求出來。而剩餘節點的路徑和取決於左側和上側，所以在這兩個之間取乙個最小值來與本節點相加得到最小路徑和，依次計算就可以得到最終的結果。時間複雜度為 o（m * n）

**class solution {

public:

int minpathsum(vector>& grid)

{int n=grid.size(),m=grid[0].size();

for(int i=1;i前文說道，圖中最短路徑的方法有很多，還會延伸出其他更多的搜尋演算法 bfs 的擴充套件 a* 以及 dfs 的擴充套件 ida*等等，只怪才疏學淺，不能一一說明，感興趣的可以看一看參考鏈結裡的簡單說明。

這裡要說明一下floyd 和 dijkstra 的區別，floyd 利用的是動態規劃 dp，dijkstra 利用的貪心演算法 greedy，而且dijkstra的演算法中包含與bfs相同的部分，可以理解為在bfs的基礎上加了貪心策略，每次進行最優的判斷。

而貪心演算法和動態規劃演算法區別可以從馬爾可夫模型的角度說起，貪心演算法問題，需要保證每一步都只由之前的乙個狀態得到，這樣才能保證區域性最優是全域性最優。動態規劃可以由之前的多個狀態得到，所以可用貪心演算法解決的問題一定可以用動態規劃解決。（貪心演算法的演算法題再其他部落格說明），這個思考詳細參考部落格：最後

其實這道題目是很簡單的動態規劃的題目，可以模擬三角形的最小路徑和一塊做，我的博文：三角形最小路徑和

但是我第一時間想到的思路是bfs，雖不是最簡演算法，大概時間複雜度o（2 m*n），但是正好之前一直在考慮bfs和dfs的區別，還有最短路徑的題目都可以怎麼做，它們具體區別與改進是什麼，本文只是簡單的說明了這道題目怎麼選擇方法，很多擴充套件的演算法的思想以及實踐，還有優劣分析，還有每個演算法常見的應用都沒有提及。本來想全部總結，但是發現越擴充套件越多，失去了這個階段快速練習的意義，但是在這裡立個flag，等找完工作，一定抽空總結。

貪心和動態規劃：

dijkstra 與 bfs：

本應擴充套件的搜路演算法：

dfs，bfs，a* ,ida* ：

雙向bfs：

dfs、bfs、dijkstra：

dfs 與 bfs時間複雜度：

如有問題，還望指出

演算法題動態規劃或者BFS之最小路徑和

動態規劃之最小編輯距離

演算法題二之最小區間

1631 最小體力消耗路徑（BFS 動態規劃）

演算法題 動態規劃或者BFS之最小路徑和

動態規劃之最小編輯距離

演算法題 二 之 最小區間

1631 最小體力消耗路徑（BFS 動態規劃）

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