題目鏈結
學過斜率優化的同學應該知道只是一道板子題，這裡我們給出乙個不同的解法：
我們定義f[i
]f[i]
f[i]
表示考慮到了第i
ii個點的最小代價是多少，那麼我們可以得出這個轉移式子：
f [i
]=mi
nj=1
i(f[
j]+w
[j][
i]
)f[i]=min_^i(f[j]+w[j][i])
f[i]=m
inj=
1i(
f[j]
+w[j
][i]
) 其中w [j
][i]
=(j−
i+∑k
=1jc
[k]−
l)
2w[j][i]=(j-i+\sum_^j c[k]-l)^2
w[j][i
]=(j
−i+∑
k=1j
c[k
]−l)
2看著像不太好優化的樣子，但是實際上我們發現f[i
]f[i]
f[i]
是凸的，換句話說f[i
]f[i]
f[i]
的決策點具有單調性。
這樣我們考慮如果我們已經知道了乙個狀態f[i
]f[i]
f[i]
，我們考慮它能更新哪些狀態，不難發現，由於決策點具有單調性，那麼我們可以二分一下它所影響的區間，具體我們畫圖來解釋一下：
一開始所有點的最優決策點：
1111111111111111111111111111111111111111111111111
1111111111111111111111111111111111111111111111111
111111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
1111
111
顯然f [2
]f[2]
f[2]
的決策點是1
11，我們考慮2
22這個決策點能影響的範圍：
1111111111111111111111111112222222222222222222
1111111111111111111111111112222222222222222222
111111
1111
1111
1111
1111
1111
1222
2222
2222
2222
2222
接著我們考慮3
33，由於決策點具有單調性，那麼一定是這樣的：
1111111111111111111111111112222222233333333333
1111111111111111111111111112222222233333333333
111111
1111
1111
1111
1111
1111
1222
2222
2333
3333
3333
或者是：
1111111111111111111111111113333333333333333333
1111111111111111111111111113333333333333333333
111111
1111
1111
1111
1111
1111
1333
3333
3333
3333
3333
於是我們可以考慮維護乙個棧，每個元素(i,
j)
(i,j)
(i,j
)是乙個二元組，分別代表區間的左端點和它的決策點是什麼，考慮加入乙個數：
如果棧頂元素的左端點（原決策點）比現在的決策點更劣，那麼我們將這個區間全部捨棄，否則我們就在這個區間二分出改變的點，修改兩個元素即可。
考慮到每乙個決策點只會入棧和出棧一次，但是由於二分的存在，總複雜度是o(n
logn
)o(nlogn)
o(nlog
n)的。**實現：
//optimize
#pragma gcc optimize("ofast")
//head file
#include
using
namespace std;
#define il inline
//variable
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define lb long double
//debug
#define b cerr<<"break point"<#define p(x) cerr<<#x<<' '<<"="<<' '<<(x)<#define p(x) cerr<<#x<<' '<<"="<<' '<<(x)<<' ';
#define ml(x) cerr<<"size of array is "#define vc vector
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define vbe(x) x.begin(),x.end()
//memset
#define ms(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define ms(x) memset(x,0x3f3f3f3f,sizeof(x))
//pair
#define fi first
#define se second
//file
#define fin(x) freopen(x,"r",stdin)
#define fou(x) freopen(x,"w",stdout)
void
fio(
)void
pti(
)void
end(
)//inf
#define inf 0x3f3f3f3f
#define linf ((long long)(0x3f3f3f3f3f3f3f3f))
//io
namespace io
while
(isdigit
(ch))w*
=op;
}template
<
class
i>
il void
print
(i w)
}using io::gi;
using io::print;
const
int n=
5e4+5;
struct node
;int n,top,stk[n]
,anc[n]
;ll l,c[n]
,f[n]
,pre[n]
;ll calc
(int fa,
int x)
intfind
(int x)
return l;
}int
main()
print
(f[n]);
end();
}
HNOI2008 玩具裝箱toy
重點在講斜率優化 description p教授要去看奧運，但是他捨不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。p教授有編號為1.n的n件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度為ci.為了方便整理，p教授要求在乙個一...
HNOI2008 玩具裝箱toy
dp i min dp j sum i sum j c 2 dp k sum i sum k c 2 dp k si sum k 2 dp k si 2 2 si sum k sum k 2 dp k sum k 2 dp j sum j 2 2 si sum k sum j yk yj 2 si ...
HNOI2008 玩具裝箱TOY
題目描述 p教授要去看奧運，但是他捨不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。p教授有編號為1 n的n件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度為ci.為了方便整理，p教授要求在乙個一維容器中的玩具編號是連續的。同時...