4 尋找兩個有序陣列的中位數

給定兩個大小為 m 和 n 的有序陣列 nums1 和 nums2。

請你找出這兩個有序陣列的中位數，並且要求演算法的時間複雜度為 o(log(m + n))。

你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
則中位數是 2.0

示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5

為了解決這個問題，我們需要理解「中位數的作用是什麼」。在統計中，中位數被用來：

將乙個集合劃分為兩個長度相等的子集，其中乙個子集中的元素總是大於另乙個子集中的元素。

所以我們只需要將陣列進行切割。

乙個長度為 m 的陣列，有 0 到 m 總共 m + 1 個位置可以切割。

我們把陣列 a 和陣列 b 分別在 i 和 j 進行切割。

將 i 的左邊和 j 的左邊組合成「左半部分」，將 i 的右邊和 j 的右邊組合成「右半部分」。

左半部分的長度等於右半部分

i + j = m - i  + n - j  , 也就是 j = ( m + n ) / 2 - i

左半部分最大的值小於等於右半部分最小的值 max ( a [ i - 1 ] , b [ j - 1 ]）） <= min ( a [ i ] , b [ j ]））

那麼，中位數就可以表示如下
（左半部分最大值 + 右半部分最小值 ）/ 2。
（max ( a [ i - 1 ] , b [ j - 1 ]）+ min ( a [ i ] , b [ j ]）） / 2

左半部分的長度比右半部分大 1

i + j = m - i  + n - j  + 1也就是 j = ( m + n + 1) / 2 - i

左半部分最大的值小於等於右半部分最小的值 max ( a [ i - 1 ] , b [ j - 1 ]）） <= min ( a [ i ] , b [ j ]））

那麼，中位數就是
左半部分最大值，也就是左半部比右半部分多出的那乙個數。
max ( a [ i - 1 ] , b [ j - 1 ]）

上邊的第乙個條件我們其實可以合併為j = ( m + n + 1) / 2 - i，因為如果m + n是偶數，由於我們取的是 int 值，所以加 1 也不會影響結果。當然，由於0 <= i <= m，為了保證0 <= j <= n，我們必須保證m <= n。

m≤n, i(m+m+1)/2−m=0
m≤n, i>0, j=(m+n+1)/2−i≤(n+n+1)/2−i

最後一步由於是 int 間的運算，所以 1/2=0。

而對於第二個條件，奇數和偶數的情況是一樣的，我們進一步分析。為了保證max ( a [ i - 1 ] , b [ j - 1 ]）） <= min ( a [ i ] , b [ j ]）），因為 a 陣列和 b 陣列是有序的，所以a [ i - 1 ] <= a [ i ]，b [ i - 1 ] <= b [ i ]這是天然的，所以我們只需要保證b [ j - 1 ] < = a [ i ]和a [ i - 1 ] <= b [ j ]所以我們分兩種情況討論：

此時和上邊的情況相反，我們要減少 i ，增大 j 。

上邊兩種情況，我們把邊界都排除了，需要單獨討論。

所有的思路都理清了，最後乙個問題，增加 i 的方式。當然用二分了。初始化 i 為中間的值，然後減半找中間的，減半找中間的，減半找中間的直到答案。

class
solution
int imin =
0, imax = m;
while
(imin <= imax)
else
if(i !=
0&& j != n && a[i-1]
> b[j]
)else
else
if(j ==0)
elseif(
(m + n)%2
==1)// 奇數的話不需要考慮右半部分
int minright =0;
//右半部分最小值
if(i == m)
else
if(j == n)
else
return
(maxleft + minright)
/2.0
;//如果是偶數的話返回結果}}
return
0.0;
}}

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