【題目】
有乙個機器按自然數序列的方式吐出球（1號球，2號球，3號球，……），你有乙個袋子，袋子最多只能裝下k個球，並且除袋子以外，你沒有更多的空間。
設計一種選擇方式，使得當機器吐出第n號球的時候（n>k），你袋子中的球數是k個，同時可以保證從1號球到n號球中的每乙個，被選進袋子的概率都是k
n\frac
nk。
舉乙個更具體的例子，有乙個只能裝下10個球的袋子。
當吐出100個球時，袋子裡有10個球，並且1~100號中的每乙個球被選中的概率都是10
100\frac
10010
；然後繼續吐球。
當吐出1000個球時，袋子裡有10個球，並且1~1000號中的每乙個球被選中的概率都是10
1000
\frac
100010
；繼續吐球。
當吐出i個球時，袋子裡有10個球，並且1~i號中的每乙個球被選中的概率都是10
i\frac
i10
，即吐球的同時，已經吐出的球被選中的概率也動態地變化。
保證第i次選球時，前i個球被選入袋中的概率相同為k
i\frac
ik(i<=k時，全為1)。
本質上為蓄水池演算法：動態變化等概率抽樣——每次抽樣(放球)時，每個球被抽中的概率都相等，但是每次這個概率數值會更改。
考慮第i次選球時，每個球放入袋中的概率為k
i\frac
ik；
第i個球只有這次放入袋中的機會，因此放入袋中的概率等於第i次選球概率，為k
i\frac
ik；
第i次在袋中的球被替換的概率為ki×
1k=1
i\frac \times \frac = \frac
ik×k1
=i1
;第i次在袋中的球被保留的概率為1−1
i=i−
1i
1-\frac = \frac
1−i1=
ii−1
觀察前i-1中的任意乙個球個球，第i次留在袋中的概率為
( kk
+1×k
+1k+
2×k+
2k+3
×...
×i−2
i−1×
i−1i
)=ki
(\frac \times \frac \times \frac \times ... \times \frac \times \frac) = \frac
(k+1k
×k+2
k+1
×k+3
k+2
×...
×i−1
i−2
×ii−
1)=
ik即袋中的球和第i個選球放入袋中的概率相同為k
i\frac
ik。
# 蓄水池演算法
import random
# uniform rand 1~max
defrand
(max):
return
int(random.random()*
max)+1
defgetknumsrand
(k, n)
:if n <
1or k <1:
return
none
res =[0
for i in
range
(min
(k, n))]
# 前k個球直接進入袋中
for i in
range(1
,len
(res)+1
):res[i -1]
= i # 從k+1個球起
for i in
range
(k +
1, n +1)
:# 第i個球以k/i概率替換袋中的球
if rand(i)
<= k:
res[rand(k)-1
]= i
return res
蓄水池演算法保證每次抽樣的公平性，對於第i次抽樣，每個樣本被抽中的概率相同——k
i\frac
ik，其中k為蓄水池容量。
最終每個樣本被抽中的概率為k
n\frac
nk，其中n為總樣本數。n可以不確定，換言之，可以一直抽樣，隨時喊停，也能保證抽樣的等概率。
因此在許多題目都有涉及。
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