單調佇列模板

單調佇列

我們從最簡單的問題開始：

eg. 現在有乙個數列，假設它有n項，問題是：求出每個區間長度為k的連續區間內數列的最大值。

數學表示式： f(i) = max,i = 0,1,…,n-1。

解法一：

很直觀的一種解法，那就是從數列的開頭，將窗放上去，然後找到這最開始的k個數的最大值，然後窗最後移乙個單元，繼續找到k個數中的最大值。

這種方法每求乙個f(i),都要進行k-1次的比較，複雜度為o(n*k)。

那麼有沒有更快一點的演算法呢？

解法二：

我們知道，上一種演算法有乙個地方是重複比較了，就是在找當前的f(i)的時候，i的前面k-1個數其它在算f(i-1)的時候我們就比較過了。那麼我們能不能儲存上一次的結果呢？當然主要是i的前k-1個數中的最大值了。答案是可以，這就要用到單調遞減佇列。

單調遞減佇列是這麼乙個佇列，它的頭元素一直是佇列當中的最大值，而且佇列中的值是按照遞減的順序排列的。我們可以從佇列的末尾插入乙個元素，可以從佇列的兩端刪除元素。同理單調遞增佇列。

1.首先看插入元素：為了保證佇列的遞減性，我們在插入元素v的時候，要將隊尾的元素和v比較，如果隊尾的元素不大於v,則刪除隊尾的元素，然後繼續將新的隊尾的元素與v比較，直到隊尾的元素大於v,這個時候我們才將v插入到隊尾。

2.隊尾的刪除剛剛已經說了，那麼隊首的元素什麼時候刪除呢？由於我們只需要儲存i的前k-1個元素中的最大值，所以當隊首的元素的索引或下標小於i-k+1的時候，就說明隊首的元素對於求f(i)已經沒有意義了，因為它已經不在窗裡面了。所以當index[隊首元素]為了讓讀者更明白一點，我舉個簡單的例子。

假設數列為：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6.n=10,k=3.

那麼我們構造乙個長度為3的單調遞減佇列：

首先，那8和它的索引0放入佇列中，我們用（8，0）表示，每一步插入元素時佇列中的元素如下：

佇列的狀態

第1個數入隊：8

第2個數入隊：7

第3個數入隊: 7 12

第4個數入隊: 5

第5個數入隊：5 16

第6個數入隊：5 9

第7個數入隊：9 17

第8個數入隊：2

第9個數入隊：2 4

第10個數入隊：2 4 6

取隊首 877

5599

222區間為3，所以前兩個數產生的最小值捨棄，從第3個數開始，每入隊後取隊首正好是區間為3 的最小值，

現在佇列裡剛好沒有超過區間的，如果超過區間就的

把從隊首刪除。

**如下：

#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int maxn=
100007
;int a[maxn]
,q[maxn]
,s[maxn]
;//s儲存每個區間的最小值，q是模擬佇列陣列 
intmain()
int head=
1,tail=0;
q[0]=
0;for(
int i=
1;i<=n;i++
) q[
++tail]
=i;//i入隊 
if(i-q[head]
>=m)
//當前數下標減去隊首儲存下標大於等於m,說明超出區間 
//注意q儲存的是下標而不是數值 
for(
int j=head;j<=tail;j++
)printf
("%d "
,a[q[j]])
;printf
("\n");
s[i]
=a[q[head]];
//拿隊頭出來，就是拿區間最小值，根據演算法需要把隊頭拿出來計算
}for
(int i=
3;i<=n;i++
)printf
("%d "
,s[i]);
return0;
}//單調佇列，一定要注意，不超區間，隊首就不刪

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