1.特徵值分解（evd）
對於乙個實對稱矩陣a∈r
n×
na\in r^
a∈rn×n
，可以分解成以下形式：
a =q
σq
ta = q\sigma q^t
a=qσqt
中q是乙個正交陣，qqt
=i
qq^t=i
qqt=i，q
qq的列向量為a
aa的特徵向量，γ
\gamma
γ是乙個對角陣，對角元素是矩陣a
aa的特徵值。
2.奇異值分解(svd)
對於任意乙個實數矩陣a∈r
m×
na\in r^
a∈rm×n
,可以分解成以下形式:
a =u
σv
ta = u\sigma v^t
a=uσvt
，其中u∈r
m×m、
v∈rn
×n
u\in r^、v\in r^
u∈rm×m
、v∈r
n×n都是單位正交陣，分別稱為左奇異矩陣和右奇異矩陣,σ∈r
m×
n\sigma \in r^
σ∈rm×n
是對角陣，對角線上的元素稱為奇異值。
因為:ata
=(uσ
vt)t
uσvt
=vσt
σv
ta^ta = (u\sigma v^t)^tu\sigma v^t = v \sigma^t\sigma v^t
ata=(u
σvt)
tuσv
t=vς
tσvt
a at
=uσv
t(uσ
vt)t
=uσσ
tu
taa^t = u\sigma v^t(u\sigma v^t)^t = u\sigma \sigma^tu^t
aat=uς
vt(u
σvt)
t=uς
σtut
顯然：（at
a)t=
ata，
(aat
)t=a
at
（a^ta)^t=a^ta，(aa^t)^t=aa^t
（ata)t
=ata
，(aa
t)t=
aat，二者皆為實對稱矩陣，這樣就可以用特徵值分解求出u、v
、σ
u、v、\sigma
u、v、σ .
奇異值和奇異值分解
理論 假設m是乙個m n階矩陣，其中的元素全部屬於域 k，也就是 實數域或複數域。如此則存在乙個分解使得 m u v 其中u是m m階酉矩陣 是半正定m n階對角矩陣 而v 即v的共軛轉置，是n n階酉矩陣。這樣的分解就稱作m的奇異值分解。對角線上的元素 i,i即為m的奇異值。直觀的解釋 在矩陣m的...
奇異值和奇異值分解
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奇異值分解
奇異值分解 singular value decomposition 是線性代數中一種重要的 矩陣分解，是矩陣分析中正規矩陣酉對角化的推廣。在訊號處理 統計學等領域有重要應用。1基本介紹 2理論描述 3幾何意義 4範數 5應用 求偽逆 平行奇異值模型 矩陣近似值 奇異值分解在某些方面與 對稱矩陣或 ...