樹狀陣列，又稱二進位制索引樹，英文名binary indexed tree。
樹狀陣列用來求區間元素和，求一次區間元素和的時間效率為o(logn)。
有些同學會覺得很奇怪。
用乙個陣列s[i]儲存序列a的前i個元素和，那麼求區間i,j的元素和不就為s[j]-s[i-1]，那麼時間效率為o(1)，豈不是更快？
但是，如果題目的a會改變呢？
例如：我們來定義下列問題：我們有n個盒子。
可能的操作為：
1.查詢從盒子i到盒子j總的石塊數
2.向盒子k新增石塊
操作1為o(1)的複雜度，s[j]-s[i-1即可。
而對操作2為o(n)的時間複雜度，需要更新s[k]到s[n]。
但是用樹狀陣列，對操作1和2的時間複雜度都為o(logn)。
先上圖
若區間的結尾為r，則區間長度就等於r的二進位制分解下的最小二次冪，即lowbit（r）
例如x=7=22+21+20
lowbit(7)=1,也就是c[7]區間有乙個數a[7]
右區間是7，區間長度是lowbit(7),那麼左區間就是r-lowbit（r）+1
//lowbit：從右往左第乙個1的位置
intlowbit
(int x)
while
(x>0)
例如a[1]~a[8]
c[8] 右區間為8， 8-lowbit（8）+1=1是左區間，也就是c[8]代表
a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]這8個數的和。
如果求前8個元素的字首和，那麼c[8]就是
樹狀陣列求字首和的**
int
ask(
int x)
//為右區間，左區間預設為1
return ans;
}
執行x=x-lowbit（8）x=0，迴圈退出。c[8]這個區間長度為8（區間長度由lowbit（8）求出)，正好是a[1]~a[8]的和。
ask(7)表示求前7個陣列元素的和
ans=ans+c[7];
執行x=7-lowbit(7) x=6
ans=ans+c[6] ;
執行x=6-lowbit（6) x=4
ans=ans+c[4];
執行x=4-lowbit（4） x=0
迴圈退出。
也就是前7個元素的字首和就是c[7]+c[6]+c[4]這幾個小區間的和
c[7]的區間長度為lowbit（7）=1, 右區間為7，左區間為7-lowbit(7)+1=7,也就是c[7]的區間是[7,7]只包含乙個a[7]
c[6]的區間長度為lowbit(6)=2 ,右區間為6，左區間為6-lowbit(6)+1=5，也就是c[6]的區間為[5,6],它有a[5]、a[6]的和。
c[4]的區間長度為lowbit(4)=4, 右區間為4，左區間為4-lowbit(4)+1=1, 也就是c[4]的區間為[1,4]，它有a[1]、a[2]、a[3]、a[4]的和。
通過上面的分析，我們知道ask(7)有c[7]、c[6]、c[4]三個小區間的和組成。
c[7]=a[7]
c[6]=a[6]+a[5]
c[4]=c[4]+c[3]+c[2]+c[1]
我們已經知道樹狀陣列c是這樣構成的，我們怎麼初始化乙個樹狀陣列
如果使用下面的**
//樹狀陣列初始化
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n=8;
int a[n+1]
=;int c[n+1]
;int
lowbit
(int x)
intask
(int x)
return ans;
}int
main()
}for
(int x=
1;x<=n;x++
)printf
("%d "
,c[x]);
printf
("\n");
printf
("%d\n"
,ask(4
));return0;
}
用o（log n）的方法初始化樹狀陣列
//用樹狀陣列單點增加來初始化
#include
#include
#include
using
namespace std;
const
int n=8;
int a[n+1]
=;int c[n+1]
;int
lowbit
(int x)
void
add(
int x,
int y)
//單點增加
intask
(int x)
//求字首和
intmain()
for(
int x=
1;x<=n;x++
)printf
("%d "
,c[x]);
printf
("\n");
printf
("%d\n"
,ask(4
));return0;
}
基礎樹狀陣列
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