素數的定義看起來很簡單，如果乙個數如果只能被 1 和它本身整除，那麼這個數就是素數。
// 返回區間 [2, n) 中有幾個素數
intcountprimes
(int n)
// 比如 countprimes(10) 返回 4
// 因為 2,3,5,7 是素數
int
countprimes
(int n)
// 判斷整數 n 是否是素數
boolean isprime
(int n)
2)
o(n^2)
o(n2
)，問題很大。首先你用 isprime 函式來輔助的思路就不夠高效；
而且就算你要用 isprime 函式，這樣寫演算法也是存在計算冗餘的。
先來簡單說下如果你要判斷乙個數是不是素數，應該如何寫演算法。只需稍微修改一下上面的 isprim **中的 for 迴圈條件：
boolean isprime
(int n)
12
=2 × 612=
3 × 412=
sqrt(12
) × sqrt(12
)12=4 × 312=
6 × 2
換句話說，如果在 [2,sqrt(n)] 這個區間之內沒有發現可整除因子，就可以直接斷定 n 是素數了，因為在區間 [sqrt(n),n] 也一定不會發現可整除因子。
現在，isprime 函式的時間複雜度降為 o(sqrt(n))，但是我們實現 countprimes 函式其實並不需要這個函式，以上只是希望讀者明白 sqrt(n) 的含義，因為等會還會用到。
高效實現 countprimes
高效解決這個問題的核心思路是和上面的常規思路反著來：
首先從 2 開始，我們知道 2 是乙個素數，那麼 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8… 都不可能是素數了。
然後我們發現 3 也是素數，那麼 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12… 也都不可能是素數了。
看到這裡，你是否有點明白這個排除法的邏輯了呢？先看我們的第一版**：
int
countprimes
(int n)
首先，回想剛才判斷乙個數是否是素數的 isprime 函式，由於因子的對稱性，其中的 for 迴圈只需要遍歷[2,sqrt(n)]就夠了。這裡也是類似的，我們外層的 for 迴圈也只需要遍歷到 sqrt(n)：
for
(int i =
2; i * i < n; i++)if
(isprim[i]).
..
for
(int j =
2* i; j < n; j +
= i)
isprim[j]
=false
;
比如 n = 25，i = 4 時演算法會標記 4 × 2 = 8，4 × 3 = 12 等等數字，但是這兩個數字已經被 i = 2 和 i = 3 的 2 × 4 和 3 × 4 標記了。
我們可以稍微優化一下，讓 j 從 i 的平方開始遍歷，而不是從 2 * i 開始：
for
(int j = i * i; j < n; j +
= i)
isprim[j]
=false
;
int
countprimes
(int n)
n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + … = n × (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7…)
括號中是素數的倒數。其最終結果是 o(n
∗log
logn
)o(n * loglogn)
o(n∗lo
glog
n)，有興趣的讀者可以查一下該演算法的時間複雜度證明。
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