一、問題
看乙個經常被引用的問題
例子1：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=？
例子2：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=？
問你例子1是多少時，你乙個個算後，結果是20
接著問你例子2時，你會馬上說出21，為什麼第二次這麼快？
因為我們將前面已經計算好的結果儲存下來，後面計算的時候再次使用，就不需要重複計算了。（一種典型的用空間換時間思想）
二、什麼是動態規劃（dynamic programming）
動態規劃在尋找有重疊子問題的最佳解時，將問題重新組合成子問題，為避免多次解決這些子問題，它們的結果都被計算並儲存，先求解出子問題的最優解，再結合子問題的最優解求出整個問題的最優解。
2.1、什麼時候用動態規劃
動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質，子問題重疊的問題。
2.2、如果使用動態規劃？主要思考三個問題。
1.定義dp陣列，找出dp陣列的含義
2.找出 dp[n]和dp[n-1]之間的關係
3.找出陣列的初始值dp[0]=? dp[1] = ?
三、通過例子來理解動態規劃
1、先來看乙個斐波那契數列，求它的第n項:
斐波那契數列的定義如下：
f(0) = 0, f(1) = 1
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2), 其中 n > 1.
用遞迴去求解，樹形遞迴的時間複雜度是o(2^n)。
求解二：
用動態規劃求解：
/**
* 1.dp[n]就表示第n項的值
* 2.陣列關係很明顯，dp[n] = dp[n-1]+dp[n-2];
* 3.初始值dp[0] = 0 ;dp[1] = 1;
*/public class solution
int dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for(int i=2;i<=n;i++)
return dp[n];
}}
2.求連續子陣列的最大和（leetcode的42題）
輸入乙個整型陣列，陣列裡有正數也有負數。陣列中的乙個或連續多個整數組成乙個子陣列。求所有子陣列的和的最大值。
要求時間複雜度為o(n)。
示例1:
輸入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。
①dp陣列的含義，這裡dp[n]我們表示輸入陣列,第n項結尾的連續陣列的最大和。
比如輸入nums = [4,-2] ,dp[1] = 2;存的是4+（-2）=2而非4，因為是以n項結尾的連續陣列。
②找出陣列的之間的關係
<1> 根據陣列含義，不難推出
dp[n] = dp[n-1] + nums[n];
<2>如果上式中dp[n-1]<0;那麼dp[n] = nums[n]即可
③初始值，dp[0] = nums[0]
求解的所有子陣列的和的最大值，從dp陣列中遍歷即可。
class solution
}dp[i] = submaxdp +1; //要麼長度是1，要麼在上公升子串行最長的後面+1；
resmax = math.max(resmax,dp[i]); //dp陣列中最大值，也即最長的上公升子串行
}return resmax;
}}
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的重量是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大
比如有4個物品，揹包容量capacity= 8，重量分別為 w = [2,3,4,5]，價值分別 v = [3,4,5,6],
輸出: 10
解釋: 裝重量為3和5的兩個物品，價值等於10.
之所以叫01揹包,是物品要麼拿，那麼不拿，不存在拿一半的情況(物品完整)。
①定義dp陣列，dp[n][c],表示n個物品時，容量為c的最大價值。
②陣列關係
<1>如果包的容量比物品小，裝不下，價值就等於前n-1個物品。
dp[n][c] = dp[n-1][c];等於裝與不裝。
<2>如果包可以裝下該物品，那它的價值就等於該物品價值v[n]加上裝過該物品剩餘容量（c-w[n]）還能裝下的最大價值（子問題的解,dp[n-1][c-w[n]]）。
即dp[n][c] = v[n]+dp[n-1][c-w[n]];
物品\容量01
2345
6780
0000
0000
01（2,3）00
3333
3332（3,4）
0034
47777
3（4,5）00
345?
4（5,6）
說明：第二行0個物品，很明顯，不管包的容量為多少，價值都為0；其他根據陣列關係不難填出其他。
我們發現裝第三個(4,5)物品，包容量為5時，dp[3][5] = v[3] + dp[2][1] = 5 + 0 = 5,價值還不如不裝(dp[n-1][c])的價值.
所以取最優解dp[n][c] = math.max(v[n]+dp[n-1][c-w[n]],dp[n-1][c]);
<3>初始值
dp[0][c] = 0;//物品為0時，包容量再大，價值也是為0
dp[n][0] = 0;//包容量為0，物品再多也裝不了，價值為0
理解這些後，**也就出來了
public class solution{
public int zeroonepack(int c,int w,int v){
if(w == null || w.length == 0) return 0;
int dp = new int[w.length][c+1];
for(int i = 1;i最後我們在回過頭來什麼是動態規劃：
動態規劃就是解決最優化問題的方法，通常用於求解具有某種最優性質，子問題重疊的問題，求解出子問題的最優解，再結合子問題的最優解求出整個問題的最優解。
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