演算法Day02 演算法研習指導之動態規劃演算法框架

湊零錢問題總結

動態規劃的應用場景:

動態規劃的核心問題:

動態規劃的窮舉很特殊:

具備最優子結構:這樣才能通過子問題的最值找到原問題的最值

列出正確的狀態轉移方程才能正確地窮舉:因為窮舉出所有可行解並不是一件容易的事

動態規劃三要素:狀態轉移方程思維框架:

int

fib(
int n)
return
fib(n-1)
+fib
(n-2);
}

觀察遞迴樹,分析出演算法低效的原因:

通常使用陣列作為備忘錄,也可以使用hash表作為備忘錄:

int

fib(
int n)
// 備忘錄初始化為0 
vector<
int>
memo
(n+1,0
);// 初始化最簡情況
return
helper
(memo, n);}
inthelper
(vector<
int>
& memo,
int n)
// 已經計算過的直接返回
if(memo[n]!=0
) memo[n]
=helper
(memo, n -1)
+helper
(memo, n -2)
;return memo[n]
;}

迭代的動態規劃解法:自底向上

int

fib(
int n)
return dp[n]
;}

動態規劃最困難的就是寫出狀態轉移方程

int

fib(
int n)
int prev =
1, curr =1;
for(
int i =
3; i <= n; i++
)return curr;
}

確定是動態規劃問題後,就要思考如何列出狀態轉移方程:

然後確定dp函式的定義:

然後確定選擇並擇優:最後明確base case:

def

coinchange
(coins: list[
int]
, amount:
int)
:def
dp(n)
:if n==0:
return
0if n <0:
return-1
# 求最小值,所以初始化為正無窮
res =
float
('inf'
)for coin in coins:
subproblem = dp(n - coins)
if subproblem ==-1
:continue
res =
min(res,
1+ subproblem)
return res if res !=
float
('inf'
)else-1
return dp(amount)
;

def

coinchanges
(coins: list[
int]
, amount:
int)
:# 備忘錄
memo =
dict()
defdp
(n):
# 檢視備忘錄,避免重複計算
if n in memo:
return memo[n]
# 如果備忘錄中不存在,則進行計算
if n =0:
return
0if n <0:
return-1
# 求最小值,所以初始化為正無窮
res =
float
('inf'
)for coin in coins:
subproblem = dep(n - coin)
if subproblem ==-1
:continue
res =
min(res,
1+ subproblem)
# 將計算結果記入備忘錄
memo[n]
= res if res !=
float
('inf'
)else-1
return memo[n]
return dep(amount)

int

coinchanges
(vector<
int> coins,
int amount)
dp[i]
=min
(dp[i],1
+ dp[i - coin])}
}return
(dp[amount]
== dp[amount +1]
)?-1
: dp[amount]
;}

湊零錢問題:

計算機解決問題的唯一的解決辦法就是窮舉:如何窮舉:列出動態轉移方程

優化窮舉的方式:備忘錄和dp table

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