在一般的雜湊表中，有乙個顯著的缺點：無論選擇什麼樣的雜湊函式，總存在一條鍵值輸入序列，這條序列中的每乙個鍵值都會被雜湊對映到同乙個槽中，導致形成的雜湊表只是一條鍊錶，效率較低。
首先需要明確，這個問題的產生是由於雜湊函式的確定性，如果雜湊函式是不定的，則可以解決這個問題。由此引入隨機性。
設u
uu為鍵值的全集，h
hh為雜湊函式的有限集,雜湊表的槽數量為m
mm，若∀x,
y∈u,
x≠y,
∣\forall x,y\in u,x≠y,|
∀x,y∈u
,x
=y,∣
∣ =∣
h∣
m|=\frac
∣=m∣h∣
，即對於任意兩個不同的鍵對，雜湊函式集合中能將其對映到同乙個槽的雜湊函式數量為雜湊函式集合的大小與槽的數量的比值，則該雜湊表稱為全域雜湊表。
在全域雜湊表中，兩個不同鍵值碰撞的概率為1
m\frac
m1，分析如下：隨機從h
hh中選出的雜湊函式能使兩個不同鍵值碰撞的數量為∣h∣
m\frac
m∣h∣
，這個數除以雜湊函式總數∣h∣
|h|∣h
∣，即碰撞概率1
m\frac
m1此外，全域雜湊表有乙個定理：從h
hh中隨機選擇雜湊函式，將n
nn個鍵放入雜湊表中的m
mm個槽中，發生碰撞的總次數的期望值小於填裝因子α=n
m\alpha=\frac
α=mn.
證明略，提示如下：可用隨機變數證明，證明中需要用到期望的線性性質
首先，雜湊表槽數量m
mm需要為質數。將給定鍵值k
kk轉換為r+1位的m
mm進製數,形成乙個序列k0k
1...
kr
k_0k_1...k_r
k0k1
...k
r，同時隨機選取乙個r+1位的m
mm進製數a=a0a
1...
ar
a_0a_1...a_r
a0a1
...a
r。雜湊函式ha(
k)=∑
i=0r
(aik
i)mo
dm
h_a(k)=\sum_^r(a_ik_i)\mod m
ha(k)
=∑i=
0r(
aik
i)m
odm
對於該雜湊函式的全域性，證明如下：
設mmm為乙個質數，z
mz_m
zm是對m
mm取餘後的整數，對於任意不為0的z∈z
mz∈z_m
z∈zm
，存在唯一的乙個z−1
∈z
mz^∈z_m
z−1∈zm
，使得z−1
⋅z≡1
(mod
m)
z^·z≡1 (\mod m)
z−1⋅z≡
1(mo
dm)
演算法筆記 10 雜湊表
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