2 3 3 語言的形式定義

1. 直接推導

令 g 是一文法,我們從 xay 直接推出xαy ,即 xay⇒xαy ,僅a → α 是 g 的乙個規則且x , y ∈ ( v n ∪ v t )* 。也就是說,從符號串 xay 直接推導出xαy僅使用一次規則。

例如,設有文法 g [ s ](符號 g [ s ]表示 s 為文法 g 的開始符號):

g [ s ] = (,, p , s )

其中,p 為s →01|0 s 1

有如下直接推導:

s ⇒01 使用規則 s →01 , 此時 x = ε , y = ε

s ⇒0 s 1使用規則 s →0 s 1 , 此時 x = ε ,y = ε

0 s 1⇒0011 使用規則 s →01 , 此時 x =0 , y =1

00 s 11⇒000 s 111 使用規則 s →0 s 1 , 此時 x =00 , y =11

000 s 111⇒00001111 使用規則 s →01 , 此時 x =000 ,y =111

注意推導和規則的區別:一是形式上的區別,推導用「 ⇒ 」表示,規則用「 → 」表示;二是對文法 g 中任何規則 a → α ,有 a ⇒ α ,即推導的依據是規則。

2. 推導

**如果存在乙個直接推導序列:

α 0 ⇒ α 1 ⇒ α 2 ⇒ … ⇒ α n

例如,設有文法 g [ e ]:

g [ e ] = (,, p , e )

e → e + t | t  

t → t * f | f
f → ( e ) | i

e ⇒ e + t ⇒ t + t ⇒ f + t ⇒ i + t

⇒ i + t * f ⇒ i + f * f ⇒ i + i * f ⇒ i + i * i

3. 廣義推導

α 0 ⇒* α

對上例,有

e ⇒* e

e ⇒* i +i * i

4. 句型和句子

設有文法 g [ s ]( s 是文法 g 的開始符號),如果 s ⇒ x* ,

x ∈ ( v n ∪ v t )* ,則稱符號串 x 為文法 g [ s ]的句型。 s ⇒ x ,x ∈ v t* *,則稱 x 是文法 g [ s ]的句子。

【例 2.5 】

設有文法 g [ s ]:

s →01|0 s 1

有

s ⇒* 01

s ⇒* 0s1
s ⇒* 00s 11
s ⇒* 000111

【例 2.6 】設有文法g [ e ]:e → e + e | e * e | ( e ) | i

試證明符號串(i * i + i )是文法 g [ e ]的乙個句子。

分析 只要證明符號串(i * i + i )對文法 g 存在乙個推導,就可證明符號串( i * i + i )是文法 g [ e ]的乙個句子。因為有

e ⇒ ( e ) ⇒ ( e + e ) ⇒ ( e * e + e ) ⇒ ( i * e + e ) ⇒ ( i * i + e ) ⇒ ( i * i + i )

5. 語言

文法 g [ s ]產生的所有句子的集合稱為文法 g 所定義的語言,記為l ( g [ s ]):l ( g [ s ]) =

注意,這裡用 s ⇒+ x ,而不是用 s ⇒ * x。因為 s 是文法的開始符號,s ∈ v n ,若用 s ⇒* x ,那麼有可能有 s = x ,這與 x ∈ v t * 相矛盾。此時的 x 不可能是句子。此處,如果用 s ⇒

s →01|0 s 1

分析 問題歸結為由識別符號 s 出發,將推出一些什麼樣的句子,也就是說, l ( g [ s ])是由一些什麼樣的符號串所組成的集合,找出其中的規律,用式子或自然語言描述出來。

此處應用第二個規則 n -1 次,然後再應用第乙個規則 1 次,有

s ⇒0 s 1⇒00 s 11⇒000 s 111 … ⇒0（n -1）s 1(n -1) ⇒0n1n

l ( g [ s ]) =

設有文法 g [ s ]:

s →0 s |1 s | ε

由該文法所確定的語言為

l ( g [ s ]) =  = * }

設有文法

g [ a ]:a →yb, b → xb | x

分析 從文法開始符號 a 出發可推導出以 y 開頭後面跟乙個或多個 x 結尾的符號串,所以該文法定義的語言為l ( g [ a ]) =。

由此可見,從已知文法確定語言的中心思想是:從文法的開始符號出發,反覆連續地使用規則,對非終結符施行替換和展開,找出句子的規律,用式子或自然語言描述出來。

形式語言理論可以證明如下兩點:

(1 )給定乙個文法,就能從結構上唯一地確定其語言,即 g → l ( g )。

(2 )給定一種語言,能確定其文法,但這種文法不是唯一的,即 l→ g 1 或 g 2 或 … 或 g n。

對此我們不予證明,但已通過前面的舉例說明了這兩點。

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