圖：由結點集合v和邊集合e構成，其中每條邊與兩個結點相交。
有向圖可以表示不對稱的關係
圖的例子：運輸網路，通訊網路，資訊網路，社會網路，依賴網路。
路徑與連通性：存在一條從u到v的路徑，稱乙個無向圖是連通的
如果對每兩個結點u與v，都存在一條從u到v的路徑和一條從v到u的路徑，我們說乙個有向圖是強連通的。
樹：乙個無向圖如果是連通的，且不包含乙個圈，我們就說它是一顆樹。
樹是最簡單的連通圖，刪除樹中的任意一條邊將使得它不再連通。
命題3.1每棵n個結點的樹恰好由n-1條邊。
定理3.2設g是具有n個結點的無向圖，下面任意兩個語句都可以推出第三個語句。
（i）g是連通的
（ii）g不包含乙個圖
（iii）g有n-1條邊。
s-t連通性問題也可以叫做迷宮求解問題。
1 寬度優先搜尋
確定s-t連通性最簡單的演算法——寬度優先搜尋（bfs）
定理3.3對每個j≥1，由bfs產生的層 lj 恰好由所有到s距離為j的結點組成，存在一條從s到t的路徑，當且僅當t出現在某個層中。
(層 lj 恰好是所有到s結點距離為j的結點的集合）
(bfs不僅確定了s可以達到的結點，也計算了他們的最短路徑）
定理3.4設t是一顆寬度優先搜尋樹，設x和y是t中分別屬於層 li 和 lj 的結點，並且設（x，y）是g的一條邊，那麼i與j至多差1。
探查乙個連通分支：
從始點s可達的結點，將把這個集合r看作g的包含s的連通分支。（可回答s-t連通性問題）
定理3.5在演算法結束產生的集合r恰好是g的包含s的連通分支。
2 深度優先搜尋
探查方式：盡可能深的前進並且只有必要的時候才撤退。
dfs——一般性分支擴張演算法的實現方式。可用遞迴形式表述。
命題3.6對於給定的遞迴呼叫dfs（u），在這次啟用和這個遞迴呼叫結束之間唄標記為「exprored」的所有的結點都是u在t中的後代。
定理3.7設t是一顆深度優先搜尋樹，x與y是t中的結點，且（x，y）是g中不屬於t的一條邊，那麼x或y之中乙個是另乙個的祖先。
定理3.8對圖中任兩個結點s與t，它們的連通分支或者相等， 或者不相交。
1 圖的表示
圖的兩種表示方式：鄰接矩陣與鄰接表（稀疏圖更有效）。
定理3.10乙個圖的鄰接矩陣表示需要o（n2）的空間，而鄰接表表示只需要o（m+n）的空間。
2 佇列與棧
佇列：先進先出 ——適用於bfs
棧：後進先出——適用於dfs
3 寬度優先搜尋的實現
bfs（s）:
置discovered[s]
= true 且對所有其他的v，discovered[v]
= false
初始化l[
0]由單個元素s構成
置層計數器i=
0 置當前的bfs樹t=φ
while l[i] 不空
初始化乙個空表l[i+1]
for 每個結點u∈l[i]
考慮每條關聯到u的邊（u，v）
if discovered[v]
= false then
置discovered[v]
= true
把邊（u，v）加到樹t上
把v加到表l[i+1]
endif
endfor
層計數器++
endwhile
4 深度優先搜尋的實現
dfs（s）:
初始化s為具有乙個元素s的棧
while s非空
從s中取乙個結點u
if explored[u]
=false then
置 explored[u]
= true
for 每條與u關聯的邊（u，v）
把v加到棧 s
endfor
endif
endwhile
定理3.13如果圖是由鄰接表表示給出的，那麼上述dfs演算法的實現將以o（m+n）時間（即輸入規模的線性時間）執行。
二部圖：是乙個圖，其結點集v可以用下述方式劃分成集合x與y，每條邊的一端在x中而另一端在y中。
1 問題
定理3.14如果乙個圖是二部圖，那麼它不可能包含乙個奇圈。
問題：確定乙個圖是二部圖。
2 設計演算法
給結點著色，如結點s為紅色，則與s相鄰的結點必須著藍色
如果存在一條邊兩端顏色相同，則g不為二部圖
bfs —— 一層為藍一層為紅。
3 分析演算法
定理3.15設g是乙個連通圖，令l1,l2,……是由始於結點s的bfs所產生的層，那麼下面兩件事一定恰好成立其一：
（i）g中沒有邊與同一層的兩個結點相交，在這種情況下g是二部圖，其中偶數層的結點可以著紅色，奇數層結點可以著藍色。
（ii）g中有一條邊與同一層的兩個結點相交，在這種情況下，g包含乙個奇數長度的圈，且因此不可能是二部圖。
1 有向圖的表示
鄰接表2 圖搜尋演算法
與無向圖類似，可使用bfs、dfs
3 強連通性
命題3.16如果u和v是相互可達的，v和w是相互可達的，那麼u和w也是相互可達的。
命題3.17對有向圖中的任何兩個結點s和t，它們的強連通分支或者相等，或者不相交。
4 有向無圈圖與拓撲排序
無向圖沒有圈——樹
有向圖沒有圈——有向無圈圖（dag）
1) 問題
定理3.18如果g有乙個拓撲排序，那麼g是乙個dag。
**問題：**每個dag都有乙個拓撲排序嗎？怎樣有效找到乙個。（將證明對任務集上的任意五圈的優先關係，存在乙個有效計算的執行任務的次序）。
2) 設計與分析演算法
命題3.19在每個dag中，存在乙個沒有輸入邊的結點。
定理3.20如果g是乙個dag，那麼g有乙個拓撲排序。
拓撲排序：
計算g的拓撲排序：
找到乙個沒有進入邊的結點v並且將它排在第一
從g中刪除v
遞迴計算g-
的拓撲排序並把這個序接在v的後面
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