triblenim
一堆石子分成三份的nim遊戲，求先手必敗的組合數。
首先我們需要知道這個結論：a⨁b
⨁c==
0a \bigoplus b \bigoplus c == 0
a⨁b⨁c=
=0的情況下先手必敗，其中a，b，c為每一堆石子的數量。
接下來我們分情況討論：
在石子總數為奇數的情況下，沒有辦法使得異或和為0。將乙個奇數拆分成三個整數，則其中必然存在至少乙個奇數使得該位的異或和為1。
在石子總數為偶數的情況下，要使得三堆石子的異或和為0，我們需要使得二進位制數字的每一位中值為1的數字的數量為2，或者0。
這樣才可以使得最終的異或和的每一位都為0。
舉個例子：
14 = 1110 = 1000 + 100 + 10;可以看到其中的每一位其中 1000 = 0000 + 0100 + 0100, 100 = 000 + 010 + 010, 10 = 00 + 01 + 01.
1所拆成的三個數字都有兩個1和乙個0，對於這三個數字可以有三種排列：011，101，110.
所以我們的答案為 3
n3^n
3n.真的嗎？考慮一下題意，每一堆石子的數量都不能為0，並且對於情況[1,2,3]和[1,3,2]是算作同一種情況的，那麼我們就需要減去這兩種情況的數量。
首先考慮石子數量為0的情況，由於我們拆分每個1後有三種情況，其中最多只有一位為0，所以所得的石子中最多只有一堆的數量為0。一共有三堆，所以需要減去3。
再考慮重複的情況，每三位數字都有三種全排列，即 a33
=6
a^3_3 = 6
a33=6
種情況，所以除以6。
這樣就得到了最終的結果 ans
=(3s
um−3
)/
6ans = (3^ - 3) / 6
ans=(3
sum−
3)/6
，其中sum為石子總數的二進位制表示中1的數量。
#include
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#include
#include
using
namespace std;
//#pragma gcc optimize(2)
#define io ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define ull unsigned long long
#define ll long long
#define rep(i, x, y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define mms(x, n) memset(x, n, sizeof(x))
#define mmc(a, tree) memcpy(a, tree, sizeof(tree))
#define eps (1e-8)
#define pi (acos(-1.0))
#define inf (0x3f3f3f3f)
#define mod (ull)(1e9+7)
typedef pair<
int,
int> p;
intmain()
ll ans =
(pow(3
, num)-3
)/6;
printf
("%lld\n"
, ans);}
}return0;
}
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