如果對向量模長進行歸一化，歐式距離和余弦相似度有如下計算關係：
● 適用場景
余弦相似度計算的向量的夾角，它並不關心向量的絕對大小。
歐式距離體現的是數值上的絕對差異。
● 結論
做了標準化後，余弦相似度與歐式距離成正比（等價性）。
● 公式
相關性分為線性相關（正、負）和線性無關、
● 通俗理解
你可以把向量想成乙個乙個的人，這些人構成乙個小組(以下舉例a、b、c三人）。
線性相關：如果該組有乙個人（a）能完成的工作，其他成員（b+ 0c、0b+c、k1b+k2c…)也能完成，那麼該人就是「多餘」的，沒有他工作也能完成。
線性無關：該組每個人都是各個領域的大牛，沒有其他人能代替他們完成相應的工作，他們獨一無二的，少了乙個都不行。
在高等數學裡面，向量二維和三維相關，就是共線（座標對應成比例）和共面的問題。。
● 正交基
不相關的（正交）向量組成的空間。
兩個向量相乘為0稱這兩個向量正交，零向量與任何向量正交。
● 標準基
標準基表示一組長度為1的基
● 標準正交基
標準正交基表示一組長度為1且兩兩正交的基。
● 完備基
由兩兩不相關的正交基組成的方陣，它能夠表達乙個完整的空間。
在這個空間中的任何乙個點，都可以由這三個基(軸)來表示。
● 欠完備基
不能夠表達乙個完整空間的基的組合，比如非正交基的組合以及非方陣的組合，比如用兩個向量表示乙個三維空間，或者用四個向量表示乙個三維空間(必定存在兩個向量是相關的)
● 本質
給乙個向量乘以乙個變換矩陣(完備基)，形成新的向量，這個新的向量就是被變換後的向量。乙個向量a和另乙個向量b的內積，相當於a在b上的投影(投影會降維)，乘以矩陣就是多段投影。
● 方法
在當前空間座標系中改變目標向量(標量、矩陣)
目標向量(標量、矩陣)和當前棧空間座標系作為整體一起改變。
● 圖形
對乙個向量x的變換步驟:把x的特徵分解到乙個新的矩陣a的軸.上，然後再用分解到這個矩陣a的軸上的特徵乘以原來的軸，得到新的特徵，新的矩陣軸上的新的特徵交點就是變換後的向量ax.
仿射變換（affine transformation或 affine map）是一種二維座標到二維座標之間的線性變換，它保持了二維圖形的「平直性」（即：直線經過變換之後依然是直線）和「平行性」。
（即：二維圖形之間的相對位置關係保持不變，平行線依然是平行線，且直線上點的位置順序不變）。
含義:乙個矩陣a乘以乙個(特徵向量)向量x等於乙個標量(特徵值) λ乘以乙個(特徵向量)向量x。
● 推理公式：vax = vλx
等式左邊: 乙個向量v乘以乙個矩陣a,相當於對向量v做了一次線性變換，然後變換後的v向量再乘以乙個特徵向量x，就相當於變換後的v向量在x向量上的投影，是乙個標量。
等式右邊:乙個向量v乘以乙個標量(特徵值) λ,相當於對這個向量做乙個一次線性變換， 然後變換後的向量v再乘以乙個特徵向量λ，相等於變換後的v向量在x向量上的投影，也是乙個標量。
● 意義
使用標量λ來代替矩陣a，主要是為了方便觀察這個向量v在變換後在向量x上投影的變化方向。
特徵值λ就是向量v經過變換後投影到x上的值，特徵值λ越大，說明這個向量v在這個x軸上的變換越大，越重要。
● 目的
表示乙個向量變化之後在某個軸上的投影。
● 影象
● 推理
ax=λx, λx-ax=0，可得(λe-a) x=0
● 公式
● 條件
要求p是正交陣，否則需要通過求偽逆的方式實現。
● 意義
對乙個矩陣做相似變換
想把乙個矩陣a變成矩陣b,只需要找到乙個矩陣p，做乙個相似變換即可。
相似矩陣的本質就是兩組不同的基都代表了同乙個空間，這兩組基之間存在乙個轉換關係，就是矩陣p.
● 公式推導
因為p是正交陣，所以p^(-1)ap= b可以寫成p^tap=b。
● 變換公式
p^(-1)ap=b， pp^(-1)=e, ae=a, a=b
ap=pb，a=b, a和b就是相似矩陣p
用ap= pb對比特徵方程ax=λx,發現二者非常相似， 如
果把x和λ都換成矩陣p和b，特徵方程的公式就可以是
ap=bp
● vap = vpb
● 定義
相似矩陣p^(-1)ap=b中，當p不是方陣的時候，a矩陣
的特徵值被稱為奇異值。
● 公式
a=u∑v^t
● 推理
可見，特徵值只是相對於方陣而言的，而奇異值是相對於所有矩陣而言的，可以認為特徵值是一種特殊的奇異值。
因為在p^(-1)ap=b中，p不是方陣，所以公式被寫成了
a=u∑v^t。
● 意義
可以做推薦系統演算法
降維，取消不重要的奇異值
● 定義
最大的特徵值被稱為矩陣的譜範數
● 簡述
矩陣的特徵值被稱為譜
用譜範數做歸一化被稱為譜範數歸一化
● 應用
例如度量乙個矩陣的大小，判斷演算法是否收斂等。
線性代數知識點1
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