Dijkstra求最短路

如果圖中存在負權邊，則不要使用 dijkstra 來求最短路。

如果題目中表明所給的圖存在重邊與自環。

在求最短路徑的問題中，

如果自環邊權重是正數，顯然它不會出現在最短路徑中。如果自環邊是負數，則需要考慮出現在最短路中。

如果是稠密圖，使用了鄰接矩陣來存邊，則因為求最短路，所以我們對於重邊，只需要儲存最小的那個重邊即可。但如果是稀疏圖，使用了鄰接表來存邊的話，則不需要對重邊進行特殊處理。

一般需要使用樸素版 dijkstra 演算法的圖論問題都是稠密圖，我們需要使用鄰接矩陣來存邊。

使用乙個一維陣列 dist[i] 表示 i 號點到起點的距離，並且初始化 dist[1] = 0，其餘 dist 點初始化為 +

∞+\infty

+∞s 表示當前已確定最短距離的點。

以上過程的原理是貪心思想。

int
dijkstra()
} 
s[t]
=true
;// 已經找到了乙個不在集合 s 中的距離最近的點 t，現在將它放入集合 s。
for(
int j =
1; j <= n;
++j)}if
(d[n]
==0x3f3f3f3f
)return-1
;// 說明沒有1 ~ n 的最短路
else
return d[n]
;}

for i 1 ~ n 迴圈了 n 次。確定不在 s 中的，距離最近的點，需要乙個 for 迴圈 n次。用 t 更新其它點的距離也需要乙個 for 迴圈 n 次。因此，樸素版 dijkstra 演算法的時間複雜度是 o(n

2)o(n^)

o(n2

)。如果是乙個稀疏圖，且圖的點數超過 105

10^10

5 。樸素版 dijkstra 就會超時。應該使用堆優化的 dijkstra，且用鄰接表儲存圖。

首先分析樸素版 dijkstra 的效能瓶頸。

在外層 for 迴圈下，尋找「不在 s 中的，距離最近的點」，一共運算了 n2n^

n2次；「s (1

)o(1)

o(1)

。所以，一共運算了 n 次。

「用 t 更新其它點的距離」因為點 t 並非與所有點都有邊，每次 for 迴圈只會尋找 t 的相鄰點。所以整體上，一共運算了 m 次。

經過上述分析，我們知道，最耗時的步驟是尋找」不在 s 中的，距離最近的點。「

在一堆數中尋找最小的數字，我們可以使用堆來尋找。時間複雜度是 o(1

)o(1)

o(1)

。但是在堆中修改乙個數的時間複雜度是 o(l

ogn)

o(log n)

o(logn

) 。所以」用 t 更新其它點的距離」這一步每次都是 logn 。因此，堆優化的 dijkstra 演算法的時間複雜度是 o(m

logn

)o(mlog n)

o(mlog

n)，其中 m 表示邊數。

可以手寫堆，也可以使用 c++ stl 的優先佇列。但是兩者在實現和時間複雜度上有一點點小學問。

手寫堆的好處是 n 個點的堆只需要 n 個元素，並且修改堆中任意乙個元素的時間複雜度是 o(l

ogn)

o(log n)

o(logn

)。stl 優先佇列的好處是簡單、容易寫。但是由於底層實現是依靠冗餘，也就是意味著每次你使用 stl 優先佇列的修改操作實際上是直接在堆中插入乙個新的元素，因此空間複雜度是 o(m)，m 表示邊數。所以，stl 優先佇列修改元素的時間複雜度是 o(log m)。

但是，如果 m

mm 遠遠小於 n2n^

n2（稀疏圖），則 log m <= 2log n，時間複雜度還是 o(l

ogn)

o(log n)

o(logn

)。當你使用堆優化的 dijkstra 時，往往是因為點數 n 超過了 105

10^10

5 ，且是稀疏圖（你想想，如果點數超過 105

10^10

5 ，在演算法題中，往往不能用乙個二維陣列來存所有邊，因為空間不夠。）。因此，堆優化的 dijkstra 往往使用 stl 優先佇列，而不用手寫堆。

#include
#include
#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef pair<
int,
int> pii;
const
int n =
150010
, m =
2* n;
int e[m]
, ne[m]
, idx, h[n]
, w[m]
;int n, m;
int d[n]
;bool st[n]
;void
init()
void
add(
int a,
int b,
int z)
intdijkstra_optimization_by_heap()
);// 將 1 號點放入堆中
while
(heap.
size()
));}
}}if(d[n]
==0x3f3f3f3f
)return-1
;else
return d[n];}
intmain()
int ans =
dijkstra_optimization_by_heap()
;if(ans !=-1
)printf
("%d\n"
, ans)
;else
puts
("-1");
}

參考：acwing

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