今天早上同學問了我有關伽馬函式和$n$維空間的球體積之間的關係，我記得我以前想要研究，但是並沒有落實。既然她提問了，那麼就完成這未完成的計畫吧。
標準思路#
簡單來說，$n$維球體積就是如下$n$重積分
$$v_n(r)=\int_dx_1 dx_2\dots dx_n$$
用更加幾何的思路，我們通過一組平行面($n-1$維的平行面)分割，使得$n$維球分解為一系列近似小柱體，因此，可以得到遞推公式
$$v_n (r)=\int_^r v_ \left(\sqrt\right)dt$$
設$t=r\sin\theta_1$，就有
$$v_n (r)=r\int_}^} v_ \left(r\cos\theta_1\right)\cos\theta_1 d\theta_1$$
迭代一次就有
$$v_n (r)=r^2\int_}^}\int_}^} v_ \left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\right)\cos\theta_1\cos^2\theta_2 d\theta_1 d\theta_2$$
迭代$n-1$次
$$\beginv_n (r)=&r^\int_}^}\dots\int_}^}\int_}^} v_1\left(r\cos\theta_1\cos\theta_2\dots \cos\theta_\right)\times\\
&\cos\theta_1\cos^2\theta_2\dots\cos^\theta_ d\theta_1 d\theta_2\dots d\theta_\end$$
其中$v_1 (r)=2r$，即兩倍半徑長的線段。從而
$$v_n (r)=2r^\int_}^}\dots\int_}^}\int_}^} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^\theta_ d\theta_1 d\theta_2\dots d\theta_$$
完成這個積分，最終就得到$n$維球體積的公式，這個積分自然是可以求出來的(只是$n-1$個一維積分的乘積)。但是這樣的步驟太不容易了，為了將其跟伽馬函式聯絡起來，還要做很多任務作。總的來說，這是乙個不容易記憶、也不怎麼漂亮的標準方法。
絕妙思路#
有乙個利用高斯積分的絕妙技巧，能夠幫助我們直接將球體積跟伽馬函式聯絡起來，整個過程堪稱鬼斧神工，而且給人「僅此一家，別無分號」的感覺。據說這個技巧為物理系學生所知曉，我是從百讀文庫看到的，原始**則是《熱力學與統計力學》顧萊納(德)，例5.2 理想氣體的熵的統計計算。
這一絕妙的思路，始於我們用兩種不同的思路計算高斯積分
$$g(n)=\int_^\dots\int_^\int_^ \exp\left(-x_1^2-x_2^2-\dots-x_n^2\right)dx_1 dx_2 \dots dx_n\tag$$
一方面，將$(1)$當作$n$次累次積分，因為我們已經算得(可以參考這裡)
$$\int_^\exp(-t^2)dt=\sqrt$$
而$(1)$只不過是這樣的$n$個積分的乘積，因此
$$g(n)=\pi^\tag$$
另一方面，將$(1)$當作$n$重積分，由於積分變數只是跟徑向長度$r=\sqrt$有關的變數，因此很容易聯想到球座標，在$n$維空間中，可以稱為「超球座標」，不需要將超球座標完整寫出來，只需要注意到，球內的積分，可以化為先對「球殼」進行積分，然後再對球半徑進行積分。
$$g(n)=\int_^dr\int_\exp\left(-r^2\right)ds_n\tag$$
這裡的$s_n(r)$是半徑為$r$的$n$維球體表面(以及表面積，在不至於混淆的情況下，這裡不作區分)。但是注意到，被積函式只跟$r$有關，因此對球表面進行積分，等價於原函式乘以球的表面積而已，因此$(2)$式的結果為
$$g(n)=\int_^dr\exp\left(-r^2\right)s_n(r)\tag$$
雖然我們不知道$n$維球的體積和表面積公式，但是我們可以肯定，$n$維球的體積一定正比於$r^n$，即有
$$v_n (r)=v_n(1)r^n$$
球的表面積，就是球體積的一階導數(考慮球殼分割)，那麼
$$s_n (r)=n v_n(1)r^$$
代入$(4)$，得到
$$\beging(n)=&n v_n(1)\int_^r^\exp\left(-r^2\right)dr\\
=&\fracn v_n(1)\int_^(r^2)^\exp\left(-r^2\right)d(r^2)\\
=&\fracn v_n(1)\int_^z^\exp\left(-z\right)dz\quad\left(z=r^2\right)\\
=&\fracn v_n(1)\gamma\left(\frac\right)\end\tag$$
結合$(2)$得
$$\pi^=g(n)=\fracn v_n(1)\gamma\left(\frac\right)$$
從而$$v_n(1)=\frac}n\gamma\left(\frac\right)}=\frac}+1\right)}$$
最後$$v_n(r)=\frac}+1\right)}r^n$$
就這樣得到了$n$維球體積公式！！對$r$求導得到$n$維球表面積公式
$$s_n(r)=\frac}\right)}r^$$
結合前後兩個方法，就得到
$$\frac}+1\right)}=2\int_}^}\dots\int_}^}\int_}^} \cos^2\theta_1\cos^3\theta_2\dots\cos^\theta_ d\theta_1 d\theta_2\dots d\theta_$$
簡單評述#
該技巧相當漂亮、簡潔，其中高斯積分、球座標變換這些都是物理系學生很熟悉的，只需簡單峰迴路轉，就把結果給算了出來，這儼然就是只有物理系學生才能想出來的絕妙思路！
更妙的是，我們發現這一思路如此奇妙，以至於我們想用它來做更多的事情，但是稍微研究之後就會得到結論：不能再做什麼了！也就是說，整個過程似乎就只為計算$n$維球體積而訂製的！真的是「只此一家，別無分號」！妙哉~~
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蘇劍林. (2014, dec 23). 《鬼斧神工：求n維球的體積 》[blog post]. retrieved from
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