演算法總結第三彈 manacher演算法，前面講了兩個字串相演算法——kmp和拓展kmp，這次來還是來總結乙個字串演算法，manacher演算法，我習慣叫他 「馬拉車」演算法。
相對於前面介紹的兩個演算法，manacher演算法的應用範圍要狹窄得多，但是它的思想和拓展kmp演算法有很多共通支出，所以在這裡介紹一下。manacher演算法是查詢乙個字串的最長回文子串的線性演算法。
在介紹演算法之前，首先介紹一下什麼是回文串，所謂回文串，簡單來說就是正著讀和反著讀都是一樣的字串，比如abba，noon等等，乙個字串的最長回文子串即為這個字串的子串中，是回文串的最長的那個。
下面介紹manacher演算法的原理與步驟。
首先，manacher演算法提供了一種巧妙地辦法，將長度為奇數的回文串和長度為偶數的回文串一起考慮，具體做法是，在原字串的每個相鄰兩個字元中間插入乙個分隔符，同時在首尾也要新增乙個分隔符，分隔符的要求是不在原串**現，一般情況下可以用#號。下面舉乙個例子：
manacher演算法用乙個輔助陣列len[i]表示以字元t[i]為中心的最長回文字串的最右字元到t[i]的長度，比如以t[i]為中心的最長回文字串是t[l,r],那麼len[i]=r-i+1。
對於上面的例子，可以得出len[i]陣列為:
len陣列有乙個性質，那就是len[i]-1就是該回文子串在原字串s中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字串t中，所有的回文字串的長度都為奇數，那麼對於以t[i]為中心的最長回文字串，其長度就為2*len[i]-1,經過觀察可知，t中所有的回文子串，其中分隔符的數量一定比其他字元的數量多1，也就是有len[i]個分隔符，剩下len[i]-1個字元來自原字串，所以該回文串在原字串中的長度就為len[i]-1。
首先從左往右依次計算len[i]，當計算len[i]時，len[j](0<=j第一種情況：i<=p
那麼找到i相對於po的對稱位置，設為j，那麼如果len[j]
那麼說明以j為中心的回文串一定在以po為中心的回文串的內部，且j和i關於位置po對稱，由回文串的定義可知，乙個回文串反過來還是乙個回文串，所以以i為中心的回文串的長度至少和以j為中心的回文串一樣，即len[i]>=len[j]。因為len[j]如果len[j]>=p-i,由對稱性，說明以i為中心的回文串可能會延伸到p之外，而大於p的部分我們還沒有進行匹配，所以要從p+1位置開始乙個乙個進行匹配，直到發生失配，從而更新p和對應的po以及len[i]。
第二種情況: i>p
如果i比p還要大，說明對於中點為i的回文串還一點都沒有匹配，這個時候，就只能老老實實地乙個乙個匹配了，匹配完成後要更新p的位置和對應的po以及len[i]。
manacher演算法的時間複雜度分析和z演算法類似，因為演算法只有遇到還沒有匹配的位置時才進行匹配，已經匹配過的位置不再進行匹配，所以對於t字串中的每乙個位置，只進行一次匹配，所以manacher演算法的總體時間複雜度為o(n)，其中n為t字串的長度，由於t的長度事實上是s的兩倍，所以時間複雜度依然是線性的。
下面是演算法的實現，注意，為了避免更新p的時候導致越界，我們在字串t的前增加乙個特殊字元，比如說『$』,所以演算法中字串是從1開始的。
#include
using
namespace std;
const
int maxn=
1e6+10;
char str[maxn]
;//原字串
char tmp[maxn<<1]
;//轉換後的字串
int len[maxn<<1]
;//關鍵性的輔助陣列
intinit
(char
*st)
tmp[
2*len+1]
='#'
; tmp[
2*len+2]
='$'
;//字串結尾加乙個字元，防止越界
tmp[
2*len+3]
=0;return
2*len+1;
//返回轉換字串的長度，一定為奇數
}//manacher演算法計算過程
intmanacher
(char
*st,
int len)
ans=
max(ans,len[i]);
}return ans-1;
//返回len[i]中的最大值-1即為原串的最長回文子串長度
}
相對於前面介紹的兩個演算法，manacher演算法的應用範圍要狹窄得多，但是它的思想和拓展kmp演算法有很多共通支出，所以在這裡介紹一下。manacher演算法是查詢乙個字串的最長回文子串的線性演算法。
在介紹演算法之前，首先介紹一下什麼是回文串，所謂回文串，簡單來說就是正著讀和反著讀都是一樣的字串，比如abba，noon等等，乙個字串的最長回文子串即為這個字串的子串中，是回文串的最長的那個。
下面介紹manacher演算法的原理與步驟。
首先，manacher演算法提供了一種巧妙地辦法，將長度為奇數的回文串和長度為偶數的回文串一起考慮，具體做法是，在原字串的每個相鄰兩個字元中間插入乙個分隔符，同時在首尾也要新增乙個分隔符，分隔符的要求是不在原串**現，一般情況下可以用#號。下面舉乙個例子：
manacher演算法用乙個輔助陣列len[i]表示以字元t[i]為中心的最長回文字串的最右字元到t[i]的長度，比如以t[i]為中心的最長回文字串是t[l,r],那麼len[i]=r-i+1。
對於上面的例子，可以得出len[i]陣列為:
len陣列有乙個性質，那就是len[i]-1就是該回文子串在原字串s中的長度，至於證明，首先在轉換得到的字串t中，所有的回文字串的長度都為奇數，那麼對於以t[i]為中心的最長回文字串，其長度就為2*len[i]-1,經過觀察可知，t中所有的回文子串，其中分隔符的數量一定比其他字元的數量多1，也就是有len[i]個分隔符，剩下len[i]-1個字元來自原字串，所以該回文串在原字串中的長度就為len[i]-1。
首先從左往右依次計算len[i]，當計算len[i]時，len[j](0<=j第一種情況：i<=p
那麼找到i相對於po的對稱位置，設為j，那麼如果len[j]
那麼說明以j為中心的回文串一定在以po為中心的回文串的內部，且j和i關於位置po對稱，由回文串的定義可知，乙個回文串反過來還是乙個回文串，所以以i為中心的回文串的長度至少和以j為中心的回文串一樣，即len[i]>=len[j]。因為len[j]如果len[j]>=p-i,由對稱性，說明以i為中心的回文串可能會延伸到p之外，而大於p的部分我們還沒有進行匹配，所以要從p+1位置開始乙個乙個進行匹配，直到發生失配，從而更新p和對應的po以及len[i]。
第二種情況: i>p
如果i比p還要大，說明對於中點為i的回文串還一點都沒有匹配，這個時候，就只能老老實實地乙個乙個匹配了，匹配完成後要更新p的位置和對應的po以及len[i]。
manacher演算法的時間複雜度分析和z演算法類似，因為演算法只有遇到還沒有匹配的位置時才進行匹配，已經匹配過的位置不再進行匹配，所以對於t字串中的每乙個位置，只進行一次匹配，所以manacher演算法的總體時間複雜度為o(n)，其中n為t字串的長度，由於t的長度事實上是s的兩倍，所以時間複雜度依然是線性的。
下面是演算法的實現，注意，為了避免更新p的時候導致越界，我們在字串t的前增加乙個特殊字元，比如說『$』,所以演算法中字串是從1開始的。
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給定乙個字串，求出其的最長回文子串 乙個將時間複雜度優化到o n 的演算法 暴力演算法，但不是純暴力，即按照做過的事情不再去做來優化 我們知道，乙個回文串要麼是奇數的串 aba 要麼是偶數的串 abba 可以看出，乙個回文串有乙個對稱軸 對於奇數串aba來說,對稱軸就是b 而對於偶數串abba來說，...
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