這是一篇關於多邊形直角座標方程的構造方法的文章，在文章末尾順便提出了筆者關於更一般的「拼接式」曲線的方程構造想法（當然核心公式在角方程部分已標紅，如果想理解這一過程，請務必仔細閱讀角方程部分關於公式（8）和（9）的說明），我想很多有「方程強迫症」或者有完美主義傾向的朋友會對這方面感興趣，當然也歡迎單純好奇的朋友玩賞並參與指正。因為很少寫文，文中難免有語句不通順的地方，望讀者諒解。
前注:標紅的公式為核心公式，與本文推導的核心思想有關。
我們知道，絕對值函式和最值函式（最大值函式，最小值函式）都可以用分段函式表示。因此，絕對值函式和最值函式也可以相互表示。我們從絕對值函式和最值函式的基本定義出發來推導這兩者之聯絡。
絕對值函式：根據（3），我們有
，更進一步，
我們再根據（4）的結果反推
的表示式：
根據（2），則有
總結一下：
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
以上四條，將會是我們接下來所有推導的基礎。
這一節重點討論以原點為中心（對角線交點），或者以座標軸為基準的多邊形方程，姑且稱之為「標準方程」，事實上在後面的推導過程中我們會看到，這種「標準方程」和我們習慣的圓錐曲線等的標準方程並不是同乙個概念，由於多邊形的不規則性而更具一般意義，只是由於其構造方便而姑且稱之「標準方程」。先從角的表示看起：
（一）角的方程
我們知道，乙個幾何意義上的「角」由兩條互成一定夾角的射線組成，在現有的方程中，圖形最接近「角」的函式，莫過於y=|x|了，這也是我們構造角方程的乙個重要出發點。值得注意的是，由y=|x|直接構造出的角往往是關於與縱軸平行的直線對稱的，這不利於我們構造更為一般的角方程。所以，我們從最值函式的角度出發，藉以構造角的方程。
我們知道，
表示a,b中的較小者，那麼
表示什麼呢？
和 中「較小」的乙個曲線？儘管在代數上並不難解釋，但在幾何上，我們似乎缺少一種對應關係來描述這一問題。好在經過一些簡單的嘗試，我們不難發現
實際上是把
和 分段重組了。或者說，定義「大小關係」的分割線，是
中的 也就是說，（9）式所對應的幾何上的曲線把平面分成了
和 兩部分，我們可以稱之為「零界線」，這樣就可以很方便的確定「大小關係」了。
有了上述概念上的準備，我們就可以很方便的利用現有直線構造「角方程」了。
首先，假定我們有兩條已知直線
，他們的「零界線」為
，在直角座標系下畫出他們的圖形，我們可以很容易看出角的朝向：
如圖，這個例子中紫線為「零界線」，按
函式的定義，可以得出
表示的圖形在「小」字的一側，即乙個頂點在原點，開口向第四象限的角。通過平移，我們也可以得到更為一般的角方程。
（二）三角形方程
角方程的構造中，我們採用的是 （(8)式中）
的形式，可以說是「邊+邊」的模式。如何寫出乙個三角形方程呢？我們可以採用類似的形式，即「角+邊」式。如下圖，令f(x,y)為一角方程，g(x,y)為一直線方程，即可構造出乙個三角形方程。（ps：f(x,y)和g(x,y)表示式前符號的正負會影響零界線的形狀和位置，所以請以實際形狀為準，符合下圖形式的就可構造出正確的表示式）
舉個栗子：
e.g.1中心在原點，對稱軸為y軸的正三角形方程：
圖形：
因為作圖用的幾何畫板不支援隱函式的方程，只能用引數方程表示x，y再畫出圖形，這裡x=h(t),y=q(t),t為圖中的變數theta
（選用的引數方程：
）（三）四邊形方程
這一節，我們將著重介紹平行四邊形方程及有關性質，包括引數方程，再對一般的四邊形方程作適當的推廣。
先看一類菱形（標準）方程：
，其引數方程為
其中a,b的幾何意義為菱形的（半）對角線長，方程（10）表示中心在原點，對角線與座標軸重合的菱形。
對上述方程適當延伸一下，就可以得到任意平行四邊形方程：
其中 為平行四邊形的兩條對角線，平行四邊形的形狀、（面積）大小由
二者決定，中心為兩直線的交點。
更一般的四邊形方程：我們延續三角形方程與角方程的構造思想，採用「角+角」法構造。
對於n為偶數（且多邊形為軸對稱圖形）的情況，其一般表示式為
，其中
， 為連線多邊形的任意兩個頂點的連線，且
之間無公共頂點（即交點不是多邊形的頂點）。（注意：這裡
的係數影響多邊形的大小，不可隨意約化）
對於其他情況，可以用兩個連續的多段折線函式通過公式(8)的方法拼接而成。
這一節的思想便是公式(8)的精髓所在，從幾何直觀的角度，公式(8)就是乙個萬能的二元拼接函式（當然一般為閉曲線式的拼接，不適用於某些開曲線的構造），通過迭代的方式，就能產生更為複雜的多段拼接函式，當然，方程在代數上的複雜性也不言而喻。。。下面舉幾個栗子作參考：
e.g.1萊洛三角形：
引數方程：
，其中
萊洛三角形
定義四邊形 圓的內接四邊形
1 圓內接多邊形定義 多邊形的所有頂點都在同乙個圓上，這個多邊形叫圓內接多邊形，這個圓叫這個多邊形的外接圓。2 圓內接四邊形定義 四邊形的所有頂點都在同乙個圓上，這個四邊形叫圓內接四邊形，這個圓叫這個四邊形的外接圓。3 判定定理 如果乙個四邊形的對角互補，那麼它的四個頂點在同乙個圓上 簡稱四點共圓 ...
四邊形可以分為幾類 四邊形的分類
課題 四邊形分類 課型學案導學課 學習目標 我要在觀察 比較 操作 交流中探索新知。我要進一步認識平行四邊形 長方形 正方形的特徵。我要把四邊形按一定的標準進行分類。教學重 難點 教學重 難點 能把四邊形按一定的標準進行分類 課時安排 共課時 第 課時 導學過 程教師復備預習 導學 創設情景 師 現...
DP的四邊形優化
1 狀態轉移方程如下 m i,j 表示對應i,j情況下的最優值。w i,j 表示從i到j的代價。例如在合併石子中 m i,j 表示從第i堆石子合併到j堆石子合併成一堆的最小代價。w i,j 表示從第i堆石子到第j堆石子的重量和。2 函式w滿足區間包含的單調性和四邊形不等式 1 假如函式w滿足上述條件...