1.【引言】
在直角座標系中，通過解析幾何的知識和圖形的分解，可用s=(1/2)*a*h公式來求三角形的面積，在通過學習導數及微積分之後，還可以通過微積分中的定積分知識來求三角形的面積。本文將全面介紹直角座標系中，介紹不同形狀的三角形求面積的各種方法，側重點為定積分求面積的方法，各種方法在每道題中是否是最簡單的方法要具體分析，本文將詳盡兩種不同的取微元的方式來求面積，目的是讓讀者通過總結分析，尋求最簡單的一種定積分求面積的方法。
2.【定積分求面積的公式】
一般地，由上下兩條連續曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b (a>b)所圍成的平面圖形，它的面積計算公式為：
s = ∫(b,a)[f2(x)-f1(x)]dx.
3.求不同位置三角形的面積。
3.1.一條邊ab在橫座標軸上，頂點c在縱座標軸的正向情況：
如圖1所示：已知a(-3，0)，b(4，0)，c(0,5)
方法一：把三角形abc分解成兩個
直角三角形oca和ocb，用三角形的面積公式計算面積為：
s=soca+socb
=(1/2)*oc*oa+(1/2)*oc*ob
=(1/2)*5*3+(1/2)*5*4
=35/2平方單位。
方法二：利用微積分的知識求面積。
1.第一種方式是面積對x微元，即：ds=△ydx。
此時考慮到，由於ac,bc方程的不同，所以，對x取面積微元有兩種情況，即左邊的ds1=△y1dx，右邊的ds2=△y2dx,三角形面積元素ds=ds1+ds2.
利用直線的截距式方程，分別可以寫出ac,bc的直線方程分別為：x/(-3)+y/5=1，x/4+y/5=1.即：
ac：y=5[(x/3)+1];
bc：y=5[(-x/4)+1];
x軸的方程為y=0，對於ds1：△y1=(yac-0),所以：
ds1=5[(x/3)+1]dx，x的取值為[-3，0]；同理ds2=5[(-x/4)+1]dx，x的取值為[0，4].
則三角形的面積為：
s△abc=∫ds=∫ds1+∫ds2
=∫(-3,0) 5*[(x/3)+1]dx+∫(0,4) 5*[(-x/4)+1]dx
=5*[(x^2/6)+x][-3,0]+ 5*[(-x^2/8)+x][0,4]
=0-5*[(3/2)+(-3)]+5*[(-2)+4]-0
=15/2+10
=35/2平方單位.
注：定積分上下限本題用在小括號中，前者為下限，後者為上限,下同。
(2)定積分求面積，第二種方式，對y取面積元素，即ds=△xdy。
前面已經得到ac,bc的方程為：
ac：x/(-3)+y/5=1
bc：x/4+y/5=1，此時變型為：
ac：x=3*[(y/5)-1];
bc：x=4*[1-(y/5)];
所以ds=△xdy= dy，y的取值為[0,5]。
則面積為：
s△abc=∫ds
=∫(0,5)dy
=∫(0,5)[7-(7y/5)]dy
=[7y-(7y^2/10)][0,5]
=7*5-7*5^2/10-0
=35-35/2
=35/2平方單位.
通過分析以上方法，其中方法一是初等數學方法，方法二是微積分方法。對於本題，在初等數學方法中，方法1比方法2簡單，在微積分方法中，對y微元要簡單一些。
綜上所述，用定積分來求三角形還是其他圖形的面積，要先找面積單元，面積單元有兩種形式，一種面積單元是ds=△xdy，對於△x，一般是右邊的函式減去左邊的函式，dy是要找到積分的上下限，且上限大於下限；另一種面積單元是ds=△ydx，對於△y，一般是上面的函式減去下面的函式，dx是要找到積分的上下限，也是上限大於下限。
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