時間複雜度和空間複雜度

演算法效率分析分為兩種：第一種是時間效率，第二種是空間效率。時間效率被稱為時間複雜度，而空間效率被稱作空間複雜度。

時間複雜度主要衡量的是乙個演算法的執行速度，而空間複雜度主要衡量乙個演算法所需要的額外空間。在計算機發展的早期，計算機的儲存容量很小，所以對空間複雜度很是在乎。但是經過計算機行業的迅速發展，計算機的儲存容量已經達到了很高的程度。所以我們如今已經不需要再特別關注乙個演算法的空間複雜度。

2.1 時間複雜度的概念

時間複雜度的定義：在電腦科學中，演算法的時間複雜度是乙個函式，它定量描述了該演算法的執行時間。乙個演算法執行所耗費的時間，從理論上說，是不能算出來的，只有你把你的程式放在機器上跑起來，才能知道。但是我們需要每個演算法都上機測試嗎？是可以都上機測試，但是這很麻煩，所以才有了時間複雜度這個分析方式。乙個演算法所花費的時間與其中語句的執行次數成正比例，演算法中的基本操作的執行次數，為演算法的時間複雜度。

2.2 大o的漸進表示法

// 請計算一下func基本操作執行了多少次？
public
void
func
(int n)
}for
(int k =
0; k <
2* n ; k++
)int m =10;
while
((m--
)>0)
system.out.
println
(count)
;}

func 執行的基本操作次數：

n = 10 f(n) = 130

n = 100 f(n) = 10210

n = 1000 f(n) = 1002010

實際中我們計算時間複雜度時，我們其實並不一定要計算精確的執行次數，而只需要大概執行次數，那麼這裡

我們使用大o的漸進表示法。

大o符號（big o notation）：是用於描述函式漸進行為的數學符號。

推導大o階方法：

1、用常數1取代執行時間中的所有加法常數。

2、在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項。

3、如果最高端項存在且不是1，則去除與這個專案相乘的常數。得到的結果就是大o階。

使用大o的漸進表示法以後，func的時間複雜度為：o(n^2)

n = 10 f(n) = 100

n = 100 f(n) = 10000

n = 1000 f(n) = 1000000

通過上面我們會發現大o的漸進表示法去掉了那些對結果影響不大的項，簡潔明瞭的表示出了執行次數。

另外有些演算法的時間複雜度存在最好、平均和最壞情況：

最壞情況：任意輸入規模的最大執行次數(上界)

平均情況：任意輸入規模的期望執行次數

最好情況：任意輸入規模的最小執行次數(下界)

例如：在乙個長度為n陣列中搜尋乙個資料x

最好情況：1次找到

最壞情況：n次找到

平均情況：n/2次找到

在實際中一般情況關注的是演算法的最壞運**況，所以陣列中搜尋資料時間複雜度為o(n)

2.3常見時間複雜度計算舉例

例項1：

// 計算func2的時間複雜度？
public
void
func2
(int n)
int m =10;
while
((m--
)>0)
system.out.
println
(count)
;}

例項1基本操作執行了2n+10次，通過推導大o階方法知道，時間複雜度為 o(n)。

例項2：

// 計算func3的時間複雜度？
void
func3
(int n,
int m)
for(
int k =
0; k < n ; k++
)system.out.
println
(count)
;}

例項2基本操作執行了m+n次，有兩個未知數m和n，時間複雜度為 o(n+m)

例項3：

// 計算func4的時間複雜度？
void
func4
(int n)
system.out.
println
(count)
;}

例項3基本操作執行了100次，通過推導大o階方法，時間複雜度為 o(1)。

例項4：

// 計算bubblesort的時間複雜度？
void
bubblesort
(int
array)}if
(sorted ==
true)}
}

例項4基本操作執行最好n次，最壞執行了(n(n-1))/2次，通過推導大o階方法+時間複雜度一般看最壞，時間複雜度為 o(n^2)。*

例項5：

// 計算binarysearch的時間複雜度？
intbinarysearch
(int
array,
int value)
return-1
;}

例項5基本操作執行最好1次，最壞o(logn)次，時間複雜度為 o(logn) ps：logn在演算法分析中表示是底數為2，對數為n。有些地方會寫成lgn。

例項6：

// 計算階乘遞迴factorial的時間複雜度？
long
factorial
(int n)

例項6通過計算分析發現基本操作遞迴了n次，時間複雜度為o(n)。

例項7：

// 計算斐波那契遞迴fibonacci的時間複雜度？
intfibonacci
(int n)

例項7通過計算分析發現基本操作遞迴了2^n次，時間複雜度為o (2^n)。

空間複雜度是對乙個演算法在執行過程中臨時占用儲存空間大小的量度。空間複雜度不是程式占用了多少bytes的空間，因為這個也沒太大意義，所以空間複雜度算的是變數的個數。空間複雜度計算規則基本跟實踐複雜度類似，也使用大o漸進表示法。

例項1：

// 計算bubblesort的空間複雜度？
void
bubblesort
(int
array)}if
(sorted ==
true)}
}

例項1使用了常數個額外空間，所以空間複雜度為 o(1)。

例項2：

// 計算fibonacci的空間複雜度？
public
int[
]fibonacci
(int n)
return fibarray;
}

例項2動態開闢了n個額外空間，空間複雜度為 o(n)。

例項3：

// 計算階乘遞迴factorial的時間複雜度？
public
intfactorial
(int n)

例項3遞迴呼叫了n次，開闢了n個棧幀，每個棧幀使用了常數個空間，空間複雜度為o(n)。

時間複雜度和空間複雜度

演算法複雜度時間複雜度和空間複雜度

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