對勾函式是一種類似於反比例函式的一般函式。所謂的對勾函式，是形如
f(x)=ax+b/x
的函式，是
一種教材上沒有但考試老喜歡考的函式，
所以更加要注意和學習。
一般的函式影象形似兩個中心對稱的
對勾，故名。
當x>0
時，f(x)=ax+b/x
有最小值
(這裡為了研究方便，
規定a>0
b>0
也就是當
x=sqrt(b/a)
的時候sqrt
表示求二次方根)
。同時它是奇函式，
就可以推導出
x<0
時的性質。
令k=sqrt(b/a)
那麼，增區間：
；減區間：
{x|0
。由單調區間可見，它的變化趨勢是：在
y軸左邊，增減，在
y軸右邊，減增，是兩個勾。
對勾函式性質的研究離不開均值不等式。
說到均值不等式，
其實也是根據二次函式得來的。
我們都知道，
(a-b)2≥0
，展開就是
a2-2ab+b2≥0
，有a2+b2≥2ab
，兩邊同時加上
2ab，整理得到
(a+b)2≥4ab
同時開根號，就得到了平均值定理的公式：
a+b≥2sqrt(ab)
。現在把
ax+b/x
套用這個公式，得到
ax+b/x≥2sqrt(axb/x)
2sqrt(ab)
，這裡有個規定：當且僅當
ax=b/x
時取到最小值，解出
x=sqrt(b/a)
對應的f(x)=2sqrt(ab)
。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：
(a+b)/2≥sqrt(ab)
，前式大家都
知道，是求平均數的公式。那麼後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，
前面的稱為算術平均
數，而後面的則稱為幾何平均數，
總結一下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。
這些知識點也是
非常重要的。
其實用導數也可以研究對勾函式的性質。
不過首先要會負指數冪的換算，
這也很簡單，
但要熟練掌
握。舉幾個例子：
1/x=x-1
4/x2=4x-2
。明白了吧，
x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那麼就有
f(x)=ax+b/x=ax+bx-1
，求導方法一樣，求的的導函式為
a+(-b)x-2
，令f'(x)=0
，計算得到
b=ax2
，結果仍然是
x=sqrt(b/a)
，如果需要的話算出
f(x)
就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看你喜歡
用那個了。不過注意均值定理最後的討論，有時
ax≠b/x
，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在
x>0
的基礎上的，不過對勾函式是奇函式，所以研究出正半軸影象的性質後，
自然能補出對稱的影象。如果出現平移了的問題(影象不再規則)
，就先用平移公式或我總結出的平移
規律還原以後再研究，這個能力非常重要，一定要多練，爭取做到特別熟練的地步。
對勾函式實際是反比例函式的乙個延伸，至於它是不是雙曲線還眾說不一。
當x>0
時，f(x)=ax+b/x
有最小值
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