最近有一道網紅題長這樣：
這看上去不是很像高中題，倒像是聯賽的送分題，或者是拉格朗日乘數法的練習題。
在這裡，我就給出乙個有拉乘味道的解法：
取等條件
看了文章的標題，就能夠知道上面
的係數是怎麼來的了。在這裡，我稍微提一下拉格朗日乘數法：
拉格朗日乘數法是用來解決條件極值問題的一種方法。
條件極值問題： 設
，求 的極值。
我們來看看拉格朗日是怎麼處理這種問題的：
設令對
的偏導數為
，也就是
這樣解出來的
就是所有可能的極值。
相信大家已經很熟悉這種方法了，這種方法的正確性也不需要我再闡述一遍。
在文章開頭的問題中，我們就用到了這樣的方法，不過我將解方程組的過程直接捨去，改造成了直接利用
的數值進行配湊。
當然，這僅僅是拉格朗日乘數法最簡單的形式。我先給出幾道例題稍微做一些拓展：
例1的最大值。
解答當可以取等，因此所求的值為
例2證明
解答這是很經典的一道imo題，這道題的變形我也在everlasting：2008江西卷理科數學22題裡寫過，現在讓我們重複利用曾經的做法來做這道題：
原不等式即
在這裡我們不妨設
這樣原題等價為
證明 不妨設
令則 容易知道
在 單調遞減，在
單調遞增。
因此若則
若則綜上原不等式成立。
雖然我只選了兩道題，但可以看出這種方法可以運用的範圍是很廣的。
不過以上的運用例子，仍然是比較淺層的例子。下面我們來看看條件極值問題和極值點偏移問題的關係。
首先我給出結論：極值點偏移問題也是一類特殊的條件極值問題。我們先看一些最簡單的例子：
例3若
滿足 證明：
(1) 若
則 (2) 若
且 則
用這道我之前出的題做例子，就可以看得出來條件極值問題和極值點偏移的聯絡。注意到在這個問題中
的條件其實是沒有特別的限制意義的。如果將這個條件去掉，下面兩個命題也只是變化為可以取等了而已。
這是條件極值問題嗎？是的。這是極值點偏移問題嗎？是的，因為這道題的內在和極值點偏移是一致的。
這題的做法我也不用多說了，讀者可以自行解決。
例4證明
的條件是乙個令人尷尬的條件，有了它我們就不能單純地將這個問題看做條件極值。但事實上我們可以對問題進行一些轉化：
證明 這樣我們就能把令人尷尬的限制條件捨去了。
我們令求解就行了。
好像方程看起來無解？但方程有乙個「不存在的根」，恰巧是
對方程取極限後我們就可以得到這個根(當然這個極限的運算並不那麼容易)。雖然這個過程在數學意義上是不嚴謹的，但這能幫助我們理解這類問題。
有了之後我們即可以解決問題了：去分母以後構造
即可。要注意，在這兩個例子中，拉格朗日乘數法做法的內涵與everlasting：極值點偏移的幾種分參方法中提到的法二的內涵是一致的。所構造的函式也是一模一樣的。因此我們可以認為法二是拉格朗日乘數法的延伸。
當然，極值點偏移用法二來解決更加合適，那個方法是簡化過的方法。我在這篇文章特意提到，僅僅是為了說明它們之間的聯絡。
我還有一些點子，等有時間的時候，我將會做更多的推廣。
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