例題例2
在讀這篇文章之前，請確保你會kruskal(最小生成樹)演算法與樹上lca演算法。
給定一棵樹，邊帶權，每次查詢兩點間經過的所有邊的長度的最小值。
雖然本題可以採用時間複雜度優秀的樹剖+rmq或樹上倍增，但是本題也可以採用kruskal重構樹的方法解決。
首先，我們將樹上的邊按照權值從小到大排序。考慮建立出一棵新樹：
從前往後掃一遍邊。假設當前掃到的邊連線了節點 u,v
u,vu,
v 且邊權 w
ww。若加入u,v
u,vu,
v這條邊後不會出現環(即為最小生成樹的樹邊)，那麼我們就建立乙個新點p
pp，將p
pp 分別連向 u,v
u,vu,
v 所在集合的代表，並令點 p
pp 的權值為 w
ww ；最後我們將 u,v
u,vu,
v 所在集合的代表連向 p
pp 。並查集維護即可。
建立出來的這棵樹被稱為"kruskal重構樹"。它有乙個重要的性質：
⌊
\lfloor
⌊ 這棵樹是乙個二叉樹；更進一步的，也是乙個大根堆/小根堆⌉
\rceil
⌉ 因此，對於一次形如 (x,
y)(x,y)
(x,y
) 的詢問，答案為新樹上 lca(x
,y)\text(x,y)
lca(x,
y)的點權。
時間複雜度 o(n
9首先我們建立出這個圖的kruskal重構樹。
不難發現，一次詢問中所有滿足要求的點均在以 r
rr 為根的子樹中。r
rr 可以通過倍增求出。
於是現在問題變為：靜態查詢子樹中的點權第 k
kk 小值。這顯然可以使用 dfs 序+主席樹維護，
注意 h
hh 需要離散化。時間複雜度為o((
n+m)
logn)
o((n+m) \log n)
o((n+m
)logn)
。[noi2018 d1t1]歸程
給定一棵大小為n
nn的無向圖。你需要執行q
qq次詢問或操作：
①1 u: 令所有與u
uu連通的節點中點權最大的節點是v
vv，你需要將v
vv的點權變為0
00並輸出vvv；
②2 x y: 刪除從x
xx到y
yy的無向邊。保證這條邊存在。
n ,q
≤5×1
05n,q \le 5 \times 10^5
n,q≤5×
105，時限 2s
\text
2s。動態刪邊，動態查詢點權的最大值……我們自然而然地想到了lct。可惜這個東西的常數非常大；換句話說，這個東西的時間複雜度並不正確。我們需要一種常數較小的單 log
\log
log 做法。
考慮給每條邊乙個權值，表示它被刪除的時刻。特別的，永遠沒有被刪除的邊的權值為 ∞
∞∞ 。於是，第 i
ii 次詢問就變為了「查詢僅經過權值不小於 i
ii 的邊所能到達的最小點權」。
我們建出 kruskal 重構樹，此時問題變為：單點修改，查詢子樹最小值位置。我們建立一棵線段樹，每個節點維護其對應區間的點權最大值與點權最大值的位置。
時間複雜度o((
n+m)
logm)
o((n+m) \log m)
o((n+m
)logm)
。
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