遞迴是程式設計和演算法學習中經常遇到的一類問題，遞迴解題本身也是很多建模比賽和面試題中常用的一種解題方法，本文將對遞迴解題作較為系統的介紹，並帶有例項說明。
遞迴是指在函式中呼叫函式本身的現象。
以階乘函式為例, 在 factorial 函式中存在著 factorial(n - 1) 的呼叫，所以此函式是遞迴函式。
int factorial(int n)
求解問題 f(6), 由於 f(6) = n * f(5), 所以 f(6) 需要拆解成 f(5) 子問題進行求解，同理 f(5) = n * f(4) ,也需要進一步拆分,... ,直到 f(1), 這是「遞」，f(1) 解決了，由於 f(2) = 2 f(1) = 2 也解決了,.... f(n)到最後也解決了，這是「歸」，所以遞迴的本質是能把問題拆分成具有相同解決思路的子問題，......，直到最後被拆解的子問題再也不能拆分，解決了最小粒度可求解的子問題後，在「歸」的過程中自然順其自然地解決了最開始的問題。
根據以上分析，不難發現遞迴問題有以下特點：
乙個問題可分解成具有相同解決思路的子問題、子子問題，即這些問題都可呼叫同乙個函式。經過層層分解的子問題最後一定有乙個不能再分解的固定值（即終止條件）,如果沒有的話就無窮無盡地分解子問題，問題顯然是無解的。
解遞迴題的關鍵在於我們首先需要根據以上特點判斷題目是否可以用遞迴來解。經判斷可以用遞迴後，接下來看看用遞迴解題的基本套路：
（1）先定義乙個函式，明確這個函式的功能，由於遞迴的特點是問題和子問題都會呼叫函式自身，所以這個函式的功能一旦確定了， 之後只要找尋問題與子問題的遞迴關係即可。
（2）接下來尋找問題與子問題間的關係（即遞推公式），由於問題與子問題具有相同解決思路，只要子問題呼叫步驟 1 定義好的函式，問題即可解決。所謂的關係最好能用乙個公式表示出來，比如f(n) = n * f(n-)這樣，如果暫時無法得出明確的公式，用偽**表示也是可以的, 發現遞推關係後，要尋找最終不可再分解的子問題的解，即（臨界條件），確保子問題不會無限分解下去。由於第一步我們已經定義了這個函式的功能，所以當問題拆分成子問題時，子問題可以呼叫步驟 1 定義的函式，符合遞迴的條件（函式裡呼叫自身）。
（3）將第二步的遞推公式用**表示出來補充到步驟 1 定義的函式中。
（4）最後也是很關鍵的一步，根據問題與子問題的關係，推導出時間複雜度,如果發現遞迴時間複雜度不可接受，則需轉換思路對其進行改造，看下是否有更靠譜的解法。
3.1 輸入乙個正整數n，輸出n!的值。其中n!=123*…*n,即求階乘。
（1）定義這個函式，明確這個函式的功能，我們知道這個函式的功能是求 n 的階乘, 之後求 n-1, n-2 的階乘就可以呼叫此函式了。
int factorial(int n)
（3）將第二步的遞推公式用**表示出來補充到步驟 1 定義的函式中。
int factorial(int n)
// 第二步的遞推公式
return n * factorial(n-1)
}
3.2 乙隻青蛙可以一次跳 1 級台階或一次跳 2 級台階,例如:跳上第 1 級台階只有一種跳法：直接跳 1 級即可。跳上第 2 級台階有兩種跳法：每次跳 1 級，跳兩次；或者一次跳 2 級。問要跳上第 n 級台階有多少種跳法？
（1）定義乙個函式，這個函式代表了跳上 n 級台階的跳法。
public int f(int n)
（3）將第二步的遞推公式用**表示出來補充到步驟 1 定義的函式中 補充後的函式如下
int f(int n)
（5）優化
既然有這麼多的重複計算，我們可以想到把這些中間計算過的結果儲存起來，如果之後的計算中碰到同樣需要計算的中間態，直接在這個儲存的結果裡查詢即可，這就是典型的以空間換時間,改造後的**如下：
int f(int n)
（6）進一步優化空間複雜度。使用迴圈迭代來改造演算法 我們在分析問題與子問題關係（f(n) = f(n-1) + f(n-2)）的時候用的是自頂向下的分析方式,但其實我們在解 f(n) 的時候可以用自下而上的方式來解決，通過觀察我們可以發現以下規律：
f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = f(1) + f(2) = 3
f(4) = f(3) + f(2) = 5
....
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int f(int n)
return result;
}
分析遞迴問題時我們需要採用自上而下的思維，而解決問題有時候採用自下而上的方式能讓演算法效能得到極大提公升。若要熟練掌握還需要進行一些題目的訓練才可以。
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