合流超幾何函式 超幾何函式及其9道習題練習

本文主要介紹gauss超幾何函式 在特殊函式中具有重要地位，因為許多其他型別的特殊函式都是它的特殊情形，所有具有三個正則奇點的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函式表示。

對於給定複數 和, gauss 超幾何函式 是由下式定義的函式 在裂紋復平面上的解析開拓：

其中當 時，;當 時

而其中的

為經典的

函式,當

時，稱

是零平衡的. 所以得到超幾何方程

的乙個特解，它有三個正則奇點：

.便是由上面(1)與(2)式整理所得

另乙個特解為

在這裡八一指出勒讓德方程其實是超幾何方程的乙個特例，首先我們要對超幾何方程進行變數代換，令，代入到超幾何方程中整理可得

其中勒讓德方程的表示式為

通過我們比較上式的超幾何方程，得到

因此我們得到勒讓德函式與超幾何函式之間的關係

此時當 時， 超幾何函式發散；當 或 時，超幾何函式退化為勒讓德多項式。

對開始定義中的超幾何函式 有如下的求導公式

一般地，超幾何函式 有 階導數公式

並得到如下遞迴關係

眾所周知，gauss 超幾何函式的性質與函式，函式以及函式之間的關係密切相關.

函式

橢圓積分

切比雪夫函式

貝塞爾函式

gauss 超幾何函式的兩個重要的特例就是第一類完全橢圓積分和和第二類完全橢圓積分。

完全橢圓積分在不少數學領域和物理學等學科中有著重要的應用.

當引數 和取某些特定值時，超幾何函式可表示一些初等函式和特殊函式。例如，

合流超幾何函式(kummer函式)可以用超幾何函式的極限表示：

超幾何函式的積分表示式有兩種：一種是從超幾何方程的積分解得到的，另一種稱為巴恩斯(barnes)積分表示則是從級數表示匯出的。

「第1種：由超幾何方程的積分分解」

「第2種：巴恩斯(barnes)積分表示」

其中.廣義超幾何函式()，有時也稱超幾何函式，是乙個用冪級數定義的函式，其中冪級數的係數由若干個公升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函式」一詞代指廣義超幾何函式，而用「gauss超幾何函式」是指 時的廣義超幾何函式。

一般用下列表示式來記廣義超幾何函式：

幾個特例：，，，與高斯超幾何函式:

指數函式

「例1.」試證：

即可得

「例2.」試證：

此時 , 但注意到 . 因此

「例3.」試證：

對, 恒有

由於 ,，即有

「例4.」試證下列恒等式

因此即證.

「例5.」若 ， ，則對有 .

因此所以對有 .

「例6.」試證：

則有

「例7.」試證：

接下來再利用 可得

這樣我們就得到因此即

「例8.」第一類的完全橢圓積分為

試證：

又有

因此

「例9.」第二類的完全橢圓積分為

試證：

可得

因此

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