本節課我們繼續二叉樹的話題。
這節課，先介紹一下二叉樹的幾個相關的性質，這些性質很簡單，但卻是我們進行資料結構的效能分析的基礎。
1. 在二叉樹的第 i 層上至多有
這個性質是顯然的，第一層有1個，第二層最多隻可能是第1層的兩倍，第三層是第二層的兩倍。
2. 深度為 k 的二叉樹，最多有
這條性質由 1 可以直接得出：將每一層的最大結點數相加。這是乙個公比為 2 的等比數列，其和為
再介紹乙個定義，如果乙個深度為 k 的二叉樹，正好有
滿二叉樹。如果乙個二叉樹，只有當第 k 層已經達到了
完全二叉樹。
例如，下圖就是一棵滿二叉樹：
而下面這個二叉樹就不是滿二叉樹，卻是乙個完全二叉樹：
3.具有 n 個結點的完全二叉樹的深度為
這個性質就是性質二的直接推論。不再多做解釋了。但這個性質向我們揭示了乙個問題：受二叉樹的樹形的影響，同樣有n個結點的乙個二叉樹，它的高度可能差別很大。比如，我們上節課的作業第二題，如果二叉搜尋樹是以(1, 2, 3, 4, 5, 6)或者(6, 5, 4, 3, 2, 1)的順序插入的話，二叉樹的高度就是6，退化為鍊錶。上節課的第一題，我們看到了，二叉樹中的搜尋效率與樹的高度成正比。二叉樹越矮，我們就能越快地找到目標，二叉樹越高，要經過的結點就會越多。
當樹形為完全二叉樹時，在樹中進行查詢的時間複雜度是 o(log n)，而當樹形退化為鍊錶時，查詢的時間複雜度是 o(n)，這個時間複雜度的差別是十分巨大的，大家可以算一下，如果有1000個結點，o(n)的時間複雜度，意味著1000次比較，而o(log n)的時間複雜度，只有10次比較，效能可以提公升100倍。好的資料結構和演算法設計的威力可見一斑。
另外，完全二叉樹的定義是很重要的，因為我們後面會學習一種威力十分強大的資料結構：堆，它就是乙個完全二叉樹。所以請記住完全二叉樹。
public void preorder(noden)1. 前序遍歷。先訪問根結點，再前序遍歷左子樹，最後前序遍歷右子樹。可見，這個操作的定義就是遞迴的。
2. 中序遍歷。先中序遍歷左子樹，再訪問根結點，最後中序遍歷右子樹。由於左子樹上的值都比根結點小，右子樹上的值都比根結點大，所以，中序遍歷一棵樹所得到的結果，是從小到大有序的，可以根據這個特點，來檢驗你的中序遍歷是否正確實現了。
3. 後序遍歷。先後序遍歷左子樹，再後序遍歷右子樹，最後訪問根結點。
public void midorder(node n)如果將未訪問完的結點入棧，每次只對棧頂元素進行操作，一旦棧頂元素被全部處理完，就將其出棧。繼續取棧頂元素進行處理，這就相當於回溯到了父結點。但是每次子結點全部訪問完回溯到父結點時，都需要知道父結點已經執行到哪一步了，在遞迴程式中，這個值是放在子結點所對應棧的 old eip 中的，因此，這是我們要模擬的乙個值。由於不需要像真正的遞迴程式那樣在回溯時恢復呼叫者的函式棧，所以 old ebp 和 old esp 這兩個值是不必模擬的。（要看懂這一節，一定要先把我前邊那篇關於遞迴的文章讀透）經過分析，我們可以給結點的定義加上乙個變數state來模擬old eip：
class node
}
public void midorderwithoutrecurs()
else if (current.state == 1)
else if (current.state == 2)
else if (current.state == 3) }}
1. 補全binarysearchtree的中序遍歷， 前序遍歷和後序遍歷的實現。
2. 補全非遞迴的前序遍歷的實現。
3. 樹的遍歷，還有一種辦法，那就是按層遍歷，例如，對於下面這棵樹
按層遍歷的結果，就是1, 2, 3, 4, 5, 6。請實現一下按層遍歷。
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資料結構筆記（六） 二叉樹
樹 n n 0 個結點的有限集。n 0時稱為空樹。在任意一棵非空樹中 有且僅有乙個特定的稱為根的結點 當n 1時，其餘結點可分為m m 0 個互不相交的有限集t1 t2 tm，其中每乙個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹。相關概念 度 結點擁有的子樹數。層次 從根開始，根為第一層，根的孩子為第二層...
資料結構 樹形結構 二叉樹 樹
深度 高度 層數 滿二叉樹 深度k上不能再新增葉結點 完全二叉樹 深度k上，第k層只刪除右邊的葉結點 不完全二叉樹 深度k上，第k層刪除了左邊的葉結點 排序二叉樹 左根右的數值從小到大，且不重複 最優二叉樹 哈夫曼樹 結點的度不為1，帶權 一般右子樹帶權 的路徑長度最短。二叉樹的順序儲存 採用虛擬結...
資料結構 二叉樹練習 遞迴
以孩子兄弟鏈作為樹的儲存結構，編寫乙個求樹高度的遞迴演算法。遞迴模型 設f t 為樹t的高度 f t 0 若t null f t 1 若t沒有孩子節點 f t max f p 1 其他情況 p為t的孩子 int treeheight tsbnode t return max 1 二叉樹應用練習 假設...