多項式互素的等價條件
張景曉【摘 要】多項式的互素是多項式理論的重要內容.本文利用反證法證明了有關多項式互素的若干等價
條件.【期刊名稱】赤峰學院學報(自然科學版)
【年(卷),期】2010(026)008
【總頁數】2
多項式理論是代數學的重要內容之一，多項式的互素是多項式理論的重要概念，本文在人們對多項
式互素性質研究的基礎上做了更深入的**，利用反證法證明了有關多項式互素的若干充要條件.
性質1設f(x)，g(x)∈p[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)，f(x)+g(x))=1
證明必要性，反證，若(f(x)，f(x)+g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除
f(x) +g(x)，從而d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大於1矛盾
，因此(f(x)，f(x)+g(x))=1.
充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而
d(x)整除f(x)+g(x)，故d(x)整除f(x)與f(x)+g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大於1矛盾，因此
(f(x)，g(x))=1.
性質2設f(x)，g(x)∈p[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.
證明必要性，反證，若(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除
f(x)+g(x)，d(x)整除f(x)-g(x)，可推知d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公
因式1，這與d(x)的次數大於1矛盾，因此(f(x)+g(x)，f(x)-g(x))=1.
充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而
d(x)整除f(x)+g(x)，且d(x)整除f(x)-g(x)故d(x)整除f(x)+g(x)與f(x)-g(x)的最大公因式1，這與d(x)的
次數大於1矛盾，因此(f(x)，g(x))=1.
性質3設f(x)，g(x)，h(x)∈p[x]，則(f(x)，g(x))=1的充要條件是(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.
證明必要性，反證，若(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除f(x)，d(x)整
除f(x)h(x)+g(x)，可推知d(x)整除g(x)，故d(x)整除f(x)與g(x)的最大公因式1，這與d(x)的次數大於
1矛盾，因此(f(x)，f(x)h(x)+g(x))=1.
充分性:反證，若(f(x)，g(x))=d(x)≠1，則d(x)的次數大於1，且d(x)整除f(x)，d(x)整除g(x)，從而
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