遞迴下降分析程式設計演算法講解之遞迴演算法

前面已經介紹了關於遞迴呼叫這樣一種操作，而遞迴程式設計是c++語言程式設計中的一種重要的方法，它使許多複雜的問題變得簡單，容易解決了。

遞迴特點是：函式或過程呼叫它自己本身。其中直接呼叫自己稱為直接遞迴，而將a呼叫b，b以呼叫a的遞迴叫做間接遞迴。

【例1】給定n（n>=1）,用遞迴的方法計算1+2+3+4+...+(n-1)+n。

【演算法分析】

本題可以用遞迴方法求解，其原因在於它符合遞迴的三個條件：

(1)本題是累加問題：當前和=前一次和+當前項，而前一次和的計算方法與其相同，只是資料不同s(n)=s(n-1)+n;

(2)給定n,所以是有限次的遞迴呼叫；

(3)結束條件是當n=1，則s=1。

#include
using namespace std;
int fac(int); //遞迴函式
int main()
　　void search(int x,int top,int bot) //二分查詢遞迴過程

程式定義了把n片從a柱移到c柱的過程mov (n,a,c,b)，這個過程把移動分為以下三步來進行：

①先呼叫過程mov (n-1, a, b, c)，把(n-1)片從a柱移到b柱, c柱作為過渡柱;

②直接執行 writeln(a, 』--＞』, c)，把a柱上剩下的一片直接移到c柱上，;

③呼叫mov (n-1,b,c,a)，把b柱上的(n-1)片從b移到c柱上，a柱是過渡柱。

對於b柱上的(n-1)片如何移到c柱，仍然呼叫上述的三步。只是把(n-1)當成了n，每呼叫一次，要移到目標柱上的片數n就減少了一片，直至減少到n=0時就退出，不再呼叫。exit是退出指令，執行該指令能在迴圈或遞迴呼叫過程中一下子全部退出來。

mov過程**現了自己呼叫自己的情況，在pascal中稱為遞迴呼叫，這是pascal語言的乙個特色。對於沒有遞迴呼叫功能的程式語言，則需要將遞迴過程重新設計為非遞迴過程的程式。

【例4】用遞迴的方法求斐波那契數列中的第n個數

【例6】數的計數(noip2001)【問題描述】我們要求找出具有下列性質數的個數（包括輸入的自然數n）。先輸入乙個自然數n（n≤1000），然後對此自然數按照如下方法進行處理：

不作任何處理；

在它的左邊加上乙個自然數，但該自然數不能超過原數的一半；

加上數後，繼續按此規則進行處理，直到不能再加自然數為止。

輸入：自然數n（n≤1000）

輸出：滿足條件的數

【輸入樣例】

6 滿足條件的數為 6 (此部分不必輸出)

【輸出樣例】

【方法一】

用遞迴，f(n)=1+f(1)+f(2)+…+f(div/2)，當n較大時會超時，時間應該為指數級。

#includeusing namespace std;
int ans;
void dfs(int m) //統計m所擴充套件出的資料個數
int main()

【方法二】：用記憶化搜尋，實際上是對方法一的改進。設h[i]表示自然數i滿足題意三個條件的數的個數。如果用遞迴求解，會重複來求一些子問題。例如在求h[4]時，需要再求h[1]和h[2]的值。現在我們用h陣列記錄在記憶求解過程中得出的所有子問題的解，當遇到重疊子問題時，直接使用前面記憶的結果。

#includeusing namespace std;
int h[1001];
void dfs(int m)
}int main()

【方法三】用遞推，用h(n)表示自然數n所能擴充套件的資料個數，則h(1)=1, h(2)=2, h(3)=2, h(4)=4, h(5)=4, h(6)=6, h(7)=6, h(8)=10, h(9)=10.分析以上資料，可得遞推公式：h(i)=1+h(1)+h(2)+…+h(i/2)。此演算法的時間度為o(n*n)。

設h[i]-i按照規則擴充套件出的自然數個數(1≤i≤n)。下表列出了h[i]值及其方案：

}【方法四】是對方法三的改進，我們定義陣列s，s(x)=h(1)+h(2)+…+h(x),h(x)=s(x)-s(x-1)，此演算法的時間複雜度可降到o(n)

#includeusing namespace std;
int h[1001],s[1001];
int main()
cout << h[n];
return 0;
}

【方法五】還是用遞推，只要作仔細分析，其實我們還可以得到以下的遞推公式:

(1)當i為奇數時，h(i)=h(i-1);

(2)當i為偶數時,h(i)=h(i-1)+h(i/2).

#includeusing namespace std;
int h[1001];
int main()
cout << h[n];
return 0;
}

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