設 ω⊂r
2\omega \subset \r^2
ω⊂r2
是由有限條分段光滑的曲線圍成的閉區域。如果函式 p(x
,y
)p(x,y)
p(x,y)
和 q(x,
y)
q(x,y)
q(x,y)
在 ω\omega
ω 上連續，並且由連續的偏導數 ∂q∂
x\frac
∂x∂q
和 ∂p∂
y\frac
∂y∂p
，那沒有：
∫ ∂ω
pdx
+qd
y=∬ω
(∂q∂
x−∂p
∂y)
dxd
y\int_ p \mathop{}\!\mathrm + q \mathop{}\!\mathrm = \iint_ (\frac - \frac})\mathop{}\!\mathrm\mathop{}\!\mathrm
∫∂ωpd
x+qd
y=∬ω
(∂x
∂q−
∂y∂p
)dx
dy其中 ∂
ω\partial \omega
∂ω是區域 ω
\omega
ω 的邊界。它的定向是這樣確定的：乙個人沿著 ∂
ω\partial \omega
∂ω的正方向行進時，區域 ω
\omega
ω 總在這個人的左邊。
∂
ω\partial \omega
∂ω是有方向的。
使用二重積分形式的 green 公式時需要標註 ∂
ω\partial \omega
∂ω的方向。而是用外微分形式時，則無需這麼做：
∫ ∂ω
pdx
+qd
y=∬ω
dp∧
dx+
dq∧
dy=
∬ω(∂
q∂x−
∂p∂y
)dx
∧dy
\int_ p \mathop{}\!\mathrm + q \mathop{}\!\mathrm = \iint_ \mathop{}\!\mathrm\wedge \mathop{}\!\mathrm + \mathop{}\!\mathrm \wedge \mathop{}\!\mathrm = \iint_ (\frac - \frac})\mathop{}\!\mathrm\wedge\mathop{}\!\mathrm
∫∂ωpd
x+qd
y=∬ω
dp∧
dx+d
q∧dy
=∬ω
(∂x∂
q−∂
y∂p
)dx∧
dy因為 ∂
ω\partial \omega
∂ω的方向已經包含在了 dx
∧dy
\mathop{}\!\mathrm \wedge \mathop{}\!\mathrm
dx∧d
y 中了。
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