某部門共有n
nn個人，現在需要從所有人中選出任意數量（大於0）的人組成乙個小隊，並從中選出乙個隊長，那麼一共有多少種組隊方式？其中1≤n
≤109
1≤n≤10^9
1≤n≤10
9，由於組隊方式的數目可能會很大，請將結果對(10
9+7)
(10^9+7)
(109+7
)取餘後輸出。
輸入: 2
輸出: 4
如果將2個人記為「1」和「2」，則共有4種組隊方式（其中上方帶點標記的為隊長）：
1˙̇}，
2˙}，
1˙, 2}，
2˙}按排列組合的方式直接解，隊伍人數為i(1
≤i≤n
)i(1\leq i \leq n)
i(1≤i≤
n)的情況有cni
c_n^i
cni
種，其中每一種又對應i
ii種情況（每個人都可以被選為隊長），則總共的組隊方式數目為
∑ i=
1ni⋅
cn
i\sum_^i \cdot c_n^i
∑i=1n
i⋅cn
i其中c ni
c_n^i
cni
表示組合數，即在n
nn個物件中選擇i
ii個物件的選擇方式的數目。對應的**為
// 思路1
deffnc
(a,b)
:if b ==0:
return a
elif b == a:
return
1 ans =
1 num, den = a, b
for _ in
range
(b):
ans *= num / den
num -=
1 den -=
1return ans
n =int
(input()
)mod =
int(
1e9+7)
ans =
0for i in
range(1
,n+1):
ans += i * fnc(n,i)
% mod
print
(int
(ans)
)
最後組成的隊伍中必然有乙個隊長，這個隊長可能是n
nn個人中的任意乙個，那麼隊長是任意乙個人的組隊方式相等，也就是說總的組隊方式數必然是乙個數量的n
nn倍，將那個數目記為x
xx（總數目為nxnx
nx），接下來考慮x
xx的值；
已經有乙個人被選為隊長了，其餘的人構成乙個集合，那麼在這個集合中任選乙個子集即可與隊長組成隊伍（即便是空集也可以），由於剩下的一共有(n−
1)
(n-1)
(n−1
)個人，則x
xx便等於子集的總數2n−
12^
2n−1
，於是nx=
n⋅2(
n−1)
nx = n \cdot 2^
nx=n⋅2
(n−1
)這樣，我們直接求出了解析解。
觀察這個表示式以及n
nn的取值範圍，顯然，接下來我們將面臨2個問題：
若直接使用冪函式計算，則必然溢位；
考慮同餘定理，使用迭代的方式對進行運算且在每次迭代時均進行取餘運算，演算法複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
，必然超時。
可以對2(n
−1)2^
2(n−1)
不斷進行二分拆分，最終達到o(o(
o(log(n
))
(n))
(n)
)的複雜度；在每次拆分時都進行一次取餘運算，以避免溢位。前者解決了超時問題，後者解決了溢位問題。最終**
// 思路2
defpower_mod
(n, mod)
:if n ==1:
return
2elif n %2==
0:return
(power_mod(n /
2, mod)**2
)% mod
else
:return power_mod(n //
2, mod)**2
*2% mod
n =int
(input()
)mod =
int(
1e9+7)
pm = power_mod(n -
1, mod)
res = n * pm % mod
print
(res)
09
n=10^9
n=10
9的極限情況也可以瞬間算出結果。
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