杜哈梅爾（duhamel）相似定理用於求解不均勻受熱引起的熱應力問題，通過將其轉化為等溫彈性力學問題，進而求解。
根據熱應力基礎概念，正應力方程可整理成以下形式：
\sigma_x=2g\varepsilon_x+\lambda e -\beta t\\[1.5ex] \sigma_y=2g\varepsilon_y+\lambda e -\beta t\\[1.5ex] \sigma_z=2g\varepsilon_y+\lambda e -\beta t \end\tag1
⎩⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎧
σx=
2gεx
+λe
−βtσ
y=2
gεy
+λe−
βtσz
=2g
εy+
λe−β
t(1
) 式（1）可以分為以下兩部分：
\sigma_x=\sigma^_x-\beta t\\ \sigma_y=\sigma^_y-\beta t\\ \sigma_z=\sigma^_z-\beta t\\ \end\tag2
⎩⎪⎨⎪⎧
σx=
σx′
−βtσ
y=σ
y′−
βtσz
=σz
′−β
t(2
) 其中，σx′
\sigma^_x
σx′
、σ y′
\sigma^_y
σy′
、σ z′
\sigma^_z
σz′
是應變產生的正應力，可整理為：
\sigma^_x=2g\varepsilon_x+\lambda e \\[1.5ex] \sigma^_y=2g\varepsilon_y+\lambda e \\[1.5ex] \sigma^_z=2g\varepsilon_y+\lambda e \end\tag3
⎩⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎧
σx′
=2gε
x+λ
eσy′
=2g
εy+
λeσz
′=2
gεy
+λe
(3)
剪應力則保持不變：
\tau_=\tau^_=g\gamma_=\frac e\gamma_\\[1.5ex] \tau_=\tau^_=g\gamma_=\frac e\gamma_\\[1.5ex] \tau_=\tau^_=g\gamma_=\frac e\gamma_ \end\tag4
⎩⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎧
τxy
=τxy
′=g
γxy
=2(1
+μ)e
γxy
τyz
=τx
y′=
gγyz
=2(
1+μ)
eγy
zτz
x=τ
xy′
=gγz
x=2
(1+μ
)eγ
zx
(4)
當不計體積力時，即：
∇ p=
[∂σx
∂x+∂
τyx∂
y+∂τ
zx∂z
∂τxy
∂x+σ
τy∂y
+∂τz
y∂z∂
τxz∂
x+∂τ
yz∂y
+∂σz
∂z]=
0(5)
\nabla\mathbf p = \left[\begin \frac}+\frac}+\frac} \\[1.5ex] \frac}+\frac}+\frac} \\[1.5ex] \frac}+\frac}+\frac} \end\right]=\mathbf0 \tag
∇p=⎣⎢⎢
⎢⎡∂
x∂σx
+∂
y∂τy
x+
∂z∂τ
zx
∂x∂τ
xy
+∂yσ
τy
+∂z∂
τzy
∂x∂
τxz
+∂y
∂τyz
+∂
z∂σz
⎦
⎥⎥⎥⎤
=0(
5)將式（3）、式（4）代入式(5) 中，可得：
∇ p=
[∂σx
′∂x+
∂τyx
′∂y+
∂τzx
′∂z−
β∂t∂
x∂τx
y′∂x
+στy
′∂y+
∂τzy
′∂z−
β∂t∂
x∂τx
z′∂x
+∂τy
z′∂y
+∂σz
′∂z−
β∂t∂
x]=0
(6)\nabla\mathbf p = \left[\begin \frac_}+\frac_}+\frac_}-\beta\frac \\[1.5ex] \frac^}+\frac^}+\frac^}-\beta\frac \\[1.5ex] \frac_}+\frac^}+\frac^}-\beta\frac \end\right]=\mathbf0 \tag
∇p=⎣⎢⎢
⎢⎢⎢⎡
∂x∂
σx′
+∂y
∂τyx
′+
∂z∂τ
zx′
−β∂
x∂t
∂x∂τ
xy′
+∂y
στy′
+∂
z∂τz
y′
−β∂x
∂t∂
x∂τx
z′
+∂y∂
τyz′
+∂
z∂σz
′−
β∂x∂
t⎦
⎥⎥⎥⎥
⎥⎤=
0(6)
除了必須滿足微分平衡方程外，也需要滿足邊界條件。當忽略表面力（即表面力為零）時：
\beta t l=\sigma^_l+\tau^_m+\tau^_n \\[1.5ex] \beta t m=\sigma^_m+\tau^_n+\tau^_l \\[1.5ex] \beta t n=\sigma^_n+\tau^_l+\tau^_m \end \tag
⎩⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎧
βtl=
σx′
l+τy
x′m
+τzx
′nβ
tm=σ
y′m
+τyx
′n+
τzx′
lβt
n=σz
′n+
τyx′
l+τ
zx′
m(7
) 其中，l、m、n 分別為邊界表面在x、y、z方向的法向余弦。通過上式，我們不難看出：
通過以上步驟即可得出物體不均勻受熱引起的熱應力。
文字相似度演算法 餘弦定理
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文字相似度 自己實現文字相似度演算法（餘弦定理）
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