邏輯回歸是一種有監督的統計學習方法，主要用於對樣本進行分類。=f
(x)=
ax+b
y=f(x)=a x+b
y=f(x)
=ax+
b對於每乙個輸入的x
xx, 都有乙個對應的y
yy輸出。模型的定義域和值域都可以是[−∞
,+∞]
[- \infty,+\infty]
[−∞,+∞
]。但是對於邏輯回歸，輸入可以是連續的[−∞
,+∞]
[-\infty,+ \infty]
[−∞,+∞
]，但輸出一般是離散的, 即只有有限多個輸出值。例如，其值域可以只有兩個值,\,
, 這兩個值可以表示對樣本的某種分類, 高/低、患病/健康、陰性/陽性等，這就是最常見的二分類邏輯回歸。因此, 從整體上來說，通過邏輯回歸模型，我們將在整個實數範圍上的x
xx對映到了有限個點上，這樣就實現了對x
xx的分類。因為每次拿過來乙個x
xx，經過邏輯回歸分析，就可以將它歸入某一類y
yy中。
邏輯回歸也被稱為廣義線性回歸模型，它與線性回歸模型的形式基本上相同，都具有ax+
bax+b
ax+b
，其中a
aa和b
bb是待求引數，其區別在於他們的
因變數不同, 多重線性回歸直接將ax+
bax+b
ax+b
作為因變數, 即y=a
x+by = ax+b
y=ax+b
, 而logistic回歸則通過函式s
ss將ax+
bax+b
ax+b
對應到乙個隱狀態p
pp,p=s
(ax+
b)p = s(ax+b)
p=s(ax
+b)，然後根據p
pp與1−p
1-p1−
p的大小決定因變數的值。這裡的函式s
ss就是sig
moid
sigmoid
sigmoi
d函式s (t
)=11
+e−t
s(t)=\frac}
s(t)=1
+e−t
1將t
tt換成ax+
bax+b
ax+b
，可以得到邏輯回歸模型的引數形式：
igmod函
數影象sigmod函式影象
sigmod
函式影象
通過函式s
ss的作用，我們可以將輸出的值限制在區間[0,
1][0,1]
[0,1
]上，p(x
)p(x)
p(x)
則可以用來表示概率p(y
=1∣x
)p(y=1|x)
p(y=1∣
x)，即當乙個x
xx發生時，y
yy被分到1
11那一組的概率。在真實情況下，我們最終得到的y
yy的值是在[0,
1][0, 1]
[0,1
]這個區間上的乙個數，然後我們可以選擇乙個閾值，通常是0.5
0.50.
5，當y
>
0.5y>0.5
y>0.
5時，就將這個x
xx歸到1
11這一類，如果y
<
0.5y<0.5
y<0.
5就將x
xx歸到0這一類。但是閾值是可以調整的，比如說乙個比較保守的人，可能將閾值設為0.9
0.90.
9，也就是說有超過90
90%90
的把握，才相信這個x
xx屬於1
11這一類。
邏輯回歸一般使用交叉熵作為代價函式。損失函式的具體細節，可參考損失函式, 這裡給出交叉熵公式:
j (θ
)=−1
m[∑i
=1m(
y(i)
loghθ
(x(i
))+(
1−y(
i))log(
1−hθ
(x(i
)))]
j(\theta)=-\frac\left[\sum_^\left(y^ \log h_\left(x^\right)+\left(1-y^\right) \log \left(1-h_\left(x^\right)\right)\right]\right.
j(θ)=−
m1[
i=1∑
m(y
(i)loghθ
(x(
i))+
(1−y
(i))
log(1−
hθ(
x(i)
))]m
mm：訓練樣本的個數;
h θ(
x):\mathrm_(\mathrm):
hθ(x)
: 用引數θ
\theta
θ和xx
x**出來的yyy值
y
yy：原訓練樣本中的y
yy值，即標籤
上角標(i)
(i)(i
)：第i
ii個樣本
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