MIT演算法導論 演算法分析與基礎知識

演算法分析：

是對計算機效能以及計算機資源的研究

即使存在著以上這些比效能更加重要的特質，那麼為什麼還要研究演算法與效能？

問題描述：將一系列元素（a1，a2,…an）進行排序後重新輸出，要求排序後的元素是非遞減的。

問題解決：插入排序等多種經典排序方案

（1）本質：就是程式始終維持乙個有序的部分，表示陣列中已經排序好的部分；而程式執行就是為了能夠使得這一部分不斷增長，直到陣列的所有部分都是排序好的。

（2）過程：偽**+過程理解

void

insertionsort
(a,n)//對陣列a[1...n]中的元素進行排序
a[i+1]
= key;
}}

①上述第乙個for迴圈，是每次都考慮乙個未有序部分的元素。

②第二個while迴圈，就是對每乙個元素，選擇乙個合適的位置進行插入，而插入點之後的元素，都要順次後移乙個位置。

執行時間runtime相關的因素:

輸入本身（結構）/

輸入規模 /

執行時間的上界

是考慮了某些特定的輸入，具有欺騙性質的假象，作用不大。

（2）平均結果

考慮乙個加權平均的計算，每一種可能出現的輸入的耗時和該情況出現的概率對應的加權平均。

如何得知每種執行結果的概率呢？

——需要做乙個假設，假定運**況結果符合均勻分布。

——忽略掉那些依賴於機器的常量

——不是去檢查實際的執行時間，而是關注執行時間的增長

θ符號，其作用是：為寫進的公式，捨去它的低階項，忽略前面的常數因子。

e.g.乙個θ(n2)的演算法始終要比θ(n2)的演算法執行快

①理解1：當n→∞時，你始終可以找到乙個n，使得n2小於n3

②理解2：上述結論縱然是在乙個慢速計算機上也是適用的。

漸進符號能同時滿足我們對相對和絕對速度的雙重比較。

①在以上的兩個圖形比較下，總能找到乙個輸入規模狀態點n0，使得之後所有n3都要慢於n2。

②但是很多時候，n0這個點在實際工程問題中可能因為過大而不合理。所以我們常常也會關注一些慢速演算法，因為它們仍然可以在合理規模的輸入下執行得更快。

①因為是漸進分析，所以我們把過程中的每項操作都看成是相差無幾的基本操作

②我們採用計數的方法，是記憶體引用計數，實際上訪問了某個變數的次數。

③因為是worst case，所以考慮的是對輸入逆序的一組元素，通過排序排列成正序的情況。

根據漸進分析，在輸入規模較小的情況下，插入排序的效率還是可觀的，但是輸入規模一旦增大，則效率會降低。

void

mergesort
(a)//對陣列a[1...n]中的元素進行有向排序

（1）思想：歸併排序的本質就是，分而治之。先讓待排序的一組元素，分成兩組已經有序的元素，再對這兩組已經有序的元素進行合併。

（2）merge操作的理解

//對有序陣列a和有序陣列b中的元素進行合併

void
merge()
else
}while
(ilength()
)while
(jlength()
)}

（1）merge操作的漸進分析

（3）推導出t(n)的通用表示式——遞迴樹方法

在漸進情況下，nlogn的複雜度是要低於n2的複雜度的。

也就是說，漸進情況下，歸併排序勝過插入排序。

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