C 演算法稀疏矩陣的乘法實現（行邏輯鏈結法）

演算法背景：

①稀疏矩陣的類表示法：

template
<
class
t>
class
sparsematrix
sparsematrix
(int row,
int col)
:rows
(row)
,cols
(col)
,size(0
)void
multiply
(const sparsematrix
& m)
; sparsematrix
operator=(
const sparsematrix
& m);}
;

②三元組表的結構體表示法：

template
<
class
t>
struct matrixterm
};

主要演算法：行邏輯鏈結法。前提條件是三元組表按照行主索引法進行對映。同稀疏矩陣的轉置操作一樣，乘法操作也需要定義兩個輔助的陣列row_nums[i]和row_first_position[i]，分別表示矩陣a第i行的非零元素數目和第i行第1個非零元素所在三元組表中對應的索引。

int
* row_nums =
newint
[rows +1]
;//各行的元素數目
int* row_first_position =
newint
[rows +1]
;//各行第乙個非零元對應的索引

對陣列row_nums的賦值如下：

for
(int i =
0; i <= rows; i++
) row_nums[i]=0
;//初始化row_nums
for(
int i =
0; i < size; i++
) row_nums[terms[i]
.row]++;
//賦值row_nums

terms[i]表示矩陣a三元組表第i號索引的元素，terms[i].row表示矩陣a這行存在元素。

對陣列row_first_position的賦值如下：

for
(int i =
0; i <= rows; i++
)//如果第i行沒有元素，則置為-1
row_first_position[i]=-
1;row_first_position[1]
=0;//第一行第乙個非零元一定在0號索引
for(
int i =
2; i <= rows; i++
)//遍歷三元組表
row_first_position[i]
= row_first_position[i -1]
+ row_nums[i -1]
;

for迴圈中從第二列開始邏輯上「遍歷」矩陣a，分析一下i = 2時，position[2]為第2列第乙個非零元應在的索引位置，它顯然等於第一行第乙個非零元所應在的索引位置 + 第一行的非零元個數，這也是邏輯上顯然成立的。對於之後的每乙個i，也顯然都有此行第乙個非零元所應在的索引位置 = 上一行第乙個非零元所應在的索引位置 + 上一行的非零元素個數。

因此，公式row_first_position[i] = row_first_position[i - 1] + row_nums[i - 1]是顯然的。

然後，初始化累加器：

t* accumulator =
new t[m.cols +1]
;//b有m.cols列，所以定義m.cols大小的累加器
for(
int i =
0; i <= m.cols; i++
) accumulator[i]=0
;//初始化累加器,分別表示各個列

就可以進入for迴圈，進入矩陣的乘法了。

在此之前，先看一下累加器的使用規則：

假設有m行k列矩陣a和k行n列的矩陣b，將二者相乘放到矩陣c中，矩陣c是m行n列的。假設有a、b矩陣如下所示：

顯然結果的c矩陣是5行5列的。根據矩陣的乘法公式，先列出計算c矩陣第一行的式子：

接著進行下一次計算時，把後面的一項分別存到累加器中：

對於矩陣a的某行的第乙個非零元素，當遍歷到它時，需要將它執行b.cols次乘法，即累加器的大小是b.cols + 1，因為不存在第0列。遍歷到a11時，需要全部掃瞄一遍b的三元組表，把那些「矩陣a的列索引 = 矩陣b的行索引」的元素與a11相乘，儲存到第b.terms[j].col號迭代器中去。然後，a11使用完畢，此時把row_first_position[i]++，表示第i行第乙個元素所在三元組表的索引+1（因為三元組表是按照行主對映的，同一行相鄰兩個非零元的索引一定相鄰）。也即，此時遍歷到a12了。對於a12，也執行相同的演算法，把那些「矩陣a的列索引 = 矩陣b的行索引」的元素與a12相乘，累加到第b.terms[j].col號迭代器中去。

顯然，執行乘法需要兩個for迴圈，外層迴圈「邏輯上」遍歷a矩陣的某一行的非零元素，內層迴圈遍歷b矩陣的三元組表，篩選那些符合條件的元素並累加到累加器中。

for
(int k =
1; k <= row_nums[i]
; k++
)//邏輯上遍歷a的第i行
row_first_position[i]++;
}

為了方便，用row_num表示當前第i行使用的元素，col_num表示當前第j列使用的元素。外層迴圈的判斷用到了row_nums陣列，第i行有x個非零元素，就執行x次外層迴圈。if語句判斷row_num還在第i行，且行元素和列元素滿足累加條件。內層迴圈完之後，把row_first_position[i]++，表示三元組表的索引加1

注意它們之間的聯絡！

完整函式**附下：

template
<
class
t>
void sparsematrix
::multiply
(const sparsematrix
& m)
else
//矩陣的第i行非空，此時要遍歷b的三元表，並在累加器中存值
row_first_position[i]++;
}//如此便得到了c矩陣第i行的各個元素的值，分別存在累加器中
for(
int k =
1; k <= m.cols; k++)}
//如此便運算完了第i行並成功存值，接下來要歸零累加器
for(
int k =
1; k <= m.cols; k++
) accumulator[k]=0
;//初始化累加器,分別表示各個列}}
*this
= result;
}

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